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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:16 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Man bestimme alle [mm] \IR-linearen [/mm] Abbildungen [mm] \IR\to\IR
[/mm]
Man bestimme alle Körperhomomorphismen f: [mm] \IQ(\sqrt{2})\to\IQ(\sqrt{2}). [/mm] |
Die einzige Art hier eine lin Abb zu konstruieren ist hier doch derart abzubilden, dass [mm] x\mapsto a\*x [/mm] mit [mm] a\in\IR.
[/mm]
Also eine Streckung bzw Spiegelung.
Körperhom. bedeuted, dass [mm] f(\alpha\beta) [/mm] = [mm] f(\alpha)\*f(\beta)
[/mm]
Prinzipiell gilt auch in [mm] \IQ(\sqrt{2}), [/mm] dass lineare Abbildungen die Form [mm] x\mapsto a\*x [/mm] haben.
D.h. es muss gelten f(xy) = [mm] \alpha\*xy [/mm] =^! [mm] \alpha\*x\*\alpha\*y
[/mm]
[mm] \Rightaarow\alpha [/mm] = [mm] \alpha^2 \Rightarrow \alpha [/mm] = 0 oder 1
Und damit sind die einzigen Körperhomomorphismen auf [mm] \IQ(\sqrt{2}) [/mm] die Nullabbildung [mm] x\mapsto [/mm] 0 und die Identität [mm] x\mapsto [/mm] x.
Passt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 05.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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