linearabhängige Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wieder ich :(
Bei dieser Aufgabe habe ich allerdings überhaupt keinen Schimmer, wie ich ansetzen könnte:
a) Gegeben seien n+1 (n [mm] \in \IN) [/mm] linear abhängige differenzierbare Funktionen [mm] f_{0}, f_{1},..., f_{n} \in [/mm] Abb ( [mm] \IR, \IR). [/mm]
Zeige: Für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist das (n+1)-Tupel
[mm] (f_{0}(x), f'_{0}(x),...,f_{0}^n(x)),...,(f_{n}(x),f'_{n}(x),...,f_{n}^n(x))
[/mm]
von Vektoren des [mm] \IR^{n+1} [/mm] linear abhängig.
b) Wir definieren [mm] f_{0}, f_{1},...,f_{n} [/mm] aus Abb [mm] (\IR, \IR) [/mm] durch [mm] f_{0}(x): [/mm] = 1und [mm] f_{i} [/mm] (x): = [mm] x^i [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,...,n}. Zeige, dass [mm] (f_{0},f_{1},...f_{n}) [/mm] linear unabhängig ist.
Danke im Voraus,
Sinus
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Guten Morgen
> b) Wir definieren [mm]f_{0}, f_{1},...,f_{n}[/mm] aus Abb [mm](\IR, \IR)[/mm]
> durch [mm]f_{0}(x):[/mm] = 1und [mm]f_{i}[/mm] (x): = [mm]x^i[/mm] für i [mm]\in[/mm]
> {1,...,n}. Zeige, dass [mm](f_{0},f_{1},...f_{n})[/mm] linear
> unabhängig ist.
Also, du siehst ja selbst, daß das alles Polynome sind, nämlich, 1, x, [mm] x^{2}, ....,x^{n}, [/mm] Die sind ja so schon mal offensichtlich unabhängig, schon durch die Definition des Polynomrings, aber du kannst auch einfach die Linearkombination aufstellen und gleich null setzten:
[mm] \lambda_{0}+\lambda_{1}x+\lambda_{2}x^{2}+...+\lambda_{n}x^{n}=0
[/mm]
offensichtlich muß [mm] \lambda_{0}=0 [/mm] sein, also bleiben n Vektoren [mm] \lambda_{1}x+\lambda_{2}x^{2}+...+\lambda_{n}x^{n}=0, [/mm] wenn du jetzt mal durch n teilst, bekommst du [mm] \lambda_{1}+...=0, [/mm] also muß [mm] \lambda_{1}=0 [/mm] sein und wieder durch x usw.
LG
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 So 13.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sinus!
Es gibt also nach Voraussetzung reelle Zahlen [mm] $\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, [/mm] die nicht alle gleich $0$ sind, mit
[mm] $\lambda_0 f_0(x) [/mm] + [mm] \lambda_1 f_1(x) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n f_n(x) [/mm] = 0$.
Leite diese Gleichung nun $n$-mal ab und fasse die daraus entstehenden insgesamt $n+1$ Gleichungen als Vektorgleichung im [mm] $\IR^{n+1}$ [/mm] auf.
Liebe Grüße
Stefan
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