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| Aufgabe | | Geben Sie alle linearen Abbildungen [mm] \IZ_{2}^{2} \to \IZ_{2}^{2} [/mm] an. |
Hallo ihr. Beobachte das Forum nun schon ein Weile und habe die ein oder andere Aufgabe durch Beispiele, die ich hier gefunden habe, lösen können, wofür ich sehr dankbar bin.
Aber hier brauch ich doch mal selber Hilfe, weil ich dazu nichts gefunden habe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (Schon deswegen nicht, weil ich kein anderes Matheforum kenne...)
Zu erst hatte ich erst einmal rumrätsel müssen, was denn nun mit [mm] \IZ_{2}^{2} [/mm] gemeint ist, bis mir auffiel, dass damit wohl sämtliche Vektoren mit 2 Elemten aus dem Körper [mm] \IZ_{2} [/mm] gemeint sind, also
(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
Richtig?
Kann mir nun jemand einen Tip geben, was denn mit "allen linearen Abbildungen [mm] \IZ_{2}^{2} \to \IZ_{2}^{2}" [/mm] gemeint ist, die da nun anzugeben sind?
Das einzige, was mir einfiel bisher, wäre einfach...
f: (0,0) [mm] \to [/mm] (0,0)
f: (0,0) [mm] \to [/mm] (0,1) etc. Aber das stimmt sicherlich nicht... Ich versteh nicht, wie das gemeint ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mi 19.12.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Heinzbert,
im Grunde genommen hast Du's schon fast. Ich
würde es allerdings als eine von insgesamt [mm] $2^4$
[/mm]
Matrizen darstellen:
[mm]
f(v)=\pmat{ a & b \\ c & d }\cdot v
[/mm]
für [mm]a,b,c,d\in\{ 0, 1 \}[/mm] und [mm]v\in Z_2^2[/mm].
Das müssten alle sein.
Liebe Grüße,
Markus.
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Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort!
Ich hätte nur eine kleine Frage zum Verständnis. Entschuldige die eventuell dumme Frage, aber: Wie kommt's, dass man diese (aus 2 Vektoren bestehenden) lineare Abbildungen als Matrizen darstellen kann/darf?
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> Entschuldige die eventuell dumme Frage, aber: Wie kommt's,
> dass man diese (aus 2 Vektoren bestehenden) lineare
> Abbildungen als Matrizen darstellen kann/darf?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß man jede lineare Abbildung durch eine Matrix darstellen kann, hast Du in der Vorlesung gehört, oder Du wirst es bald hören, warum das so ist, kannst Du der einschlägigen Fachliteratur entnehmen oder ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Ich möchte lieber über einen anderen Aspekt im Zusammenhang mit den Darstellungsmatrizen reden:
Wenn ich eine lineare Abbildung habe, wie komme ich dann zu meiner darstellenden Matrix?
Das geht so: in den Spalten der darstellenden Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren.
Das nur vorweg, vielleicht ist es Dir ja demnächst nützlich.
Dem, was Du eingangs schriebst, entnehme ich aber etwas ganz, ganz Schlimmes:
Dir scheint nicht klar zu sein, daß lineare Abbildungen durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
Daß dies so ist, solltest Du Dir unbedingt merken. (Nur deshalb funktioniert auch das mit den Matrizen).
Für die Lösung Deiner Aufgabe bedeutet das:
Du nimmst Dir eine Basis B des [mm] \IZ_2^2,
[/mm]
viel Auswahl hat man ja nicht,
nehmen wir [mm] B:=(\vektor{1\\ 0}, \vektor{0 \\ 1}).
[/mm]
Und nun überlegst Du Dir, wieviele Möglichkeiten es gibt, den Vektoren [mm] \vektor{1\\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] Funktionswerte zuzuordnen.
Du wirst feststellen: jeweils 4 Möglichkeiten.
Dies ergänzend zu kochnms Antwort für den Fall, daß Ihr das mit den Matrizen noch gar nicht hattet.
Gruß v. Angela
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