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| Aufgabe | Aufgabe 34: Gegeben seien die folgenden Vektoren aus R3:
v1 = (1, 3, -1) a1= (-1,-2,-1), a2=(1,0,-1)
Geben Sie eine lineare Abbildung f : R3 -> R3 an, für die gilt:
ker f = span (v1) und Im f = span (a1; a2) |
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Guten Tag,
das ist meine Aufgabe und ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll.
Wir hatten einen Satz in der Vorlesung, der sagte, wenn Vektoren eine Basis sind gibt es genau eine lineare Abbildung und wenn es unabhängige Vektoren sind mind. eine lineare Abbildung mit gewissen Eigenschaften, aber ich weiß nicht wie mich das weiter bringt und was ich tun muss.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 So 20.01.2008 | | Autor: | unknown |
Moin,
am einfachsten loest man die Aufgabe glaube ich so: Man kann zeigen, dass [mm] $(v_1,a_1,a_2)$ [/mm] ein Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bilden. Also ist nach dem Satz, den Du zitierst, eine lineare Abbildung dadurch eindeutig bestimmt, dass Du sagst, wo [mm] $v_1$, $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] hin abgebildet werden sollen. Ein Abbildung, die tut, was Du willst ist etwa durch
$f( [mm] \alpha v_1 [/mm] + [mm] \beta a_1 [/mm] + [mm] \gamma a_2 [/mm] ) := [mm] \beta a_1 [/mm] + [mm] \gamma a_2$
[/mm]
gegeben. [mm] ($\mathrm{spann}(a_1, a_2) [/mm] = [mm] \mathrm{im}\;f$ [/mm] und [mm] $\mathrm{spann}(v_1) \subseteq \mathrm{ker}\;f$ [/mm] sieht man und fuer [mm] $\mathrm{spann}(v_1) [/mm] = [mm] \mathrm{ker}\;f$ [/mm] kann man z. B. die Dimensionsformel bemuehen). Du kannst Dir zur Uebung ja nochmal klar machen, warum die Abbildung jetzt auf ganz [mm] $\IR^3$ [/mm] eindeutig definiert ist.
Jetzt musst Du [mm] ${\textstyle f}$ [/mm] eventuell noch bezueglich der Einheitsbasis darstellen (dafuer sollte es auch einen Satz geben) und bist fertig.
Hoffe, das hilft Dir weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Smartgirl |
Dankeschöööön, ja das hilft mir total. :)
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