lineare Abbildungen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Seien V, W endlichdimensionale Vektorräume über K.
Bezeichne mit m die Dimension von V und mit n die Dimension von W.
1) Sei Inj(V,W) [mm] \subset [/mm] Hom(V,W) die Teilmenge der injektiven linearen Abbildungen. Ist das ein Untervektorraum? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe ein großes Problem mit dieser Frage.
Also ich weiß ( per Definition), dass Dimensionen die Maximalanzahl linear unabhängiger Vektoren sind.
Allerdings habe ich das mit den Morphismen nicht richtig verstanden! Also hier ja Homomorphismus.
Bin jetzt im ersten semi und haben Schwierigkeiten, Definitionen anzuwenden bzw an konkreten Beispielen zu verwenden.
Kann mir da jemand helfen?!
Das wäre super lieb!
vg mathe_aeffchen
|
|
| |
|
> Sei K ein Körper. Seien V, W endlichdimensionale
> Vektorräume über K.
> Bezeichne mit m die Dimension von V und mit n die
> Dimension von W.
> 1) Sei Inj(V,W) [mm]\subset[/mm] Hom(V,W) die Teilmenge der
> injektiven linearen Abbildungen. Ist das ein
> Untervektorraum?
> ich habe ein großes Problem mit dieser Frage.
> Also ich weiß ( per Definition), dass Dimensionen die
> Maximalanzahl linear unabhängiger Vektoren sind.
> Allerdings habe ich das mit den Morphismen nicht richtig
> verstanden! Also hier ja Homomorphismus.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ein Vektorraumhomomorphismus [mm] \varphi [/mm] (sehr oft: lineare Abbildung) ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen X und Y über einem Skalarenkörper K mit bestimmten Eigenschaften, den Linearitätsbedingungen:
Für alle [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X : [mm] \varphi(x_1+x_2)=\varphi(x_1)+\varphi(x_2)
[/mm]
und für alle x [mm] \in [/mm] X und für alle k [mm] \in [/mm] K gilt: [mm] \varphi(kx)=k\varphi(x).
[/mm]
Ich will und kann nun kein Lehrbuch schreiben. jedenfalls haben Vektorraumjhomomorphismen bestimmte Eigenschaften, z.B. sind sie durch dei Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
So. Nun klettern wir auf einen Felsen und schauen von oben auf die Vektorraumhomomorphismen von V nach W, also auf die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W, auf Hom(V,W) .
Mit geeignet erklärten Verknüfungen bilden diese Abbildungen einen Vektorraum. Einen Vektorraum, dessen Elemente (Vektoren) lineare Abbildungen sind.
Die Verknüpfungen: Seien [mm] \varphi, \psi \in [/mm] Hom(V,W)
Es ist [mm] \varphi+ \psi [/mm] def. durch [mm] (\varphi+ \psi)(x):= \varphi(x)+ \psi(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V,
und es ist für alle k [mm] \in [/mm] K [mm] k\varphi [/mm] definiert durch [mm] (k\varphi)(x):=k\varphi [/mm] (x).
Daß Hom(V,K) mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum bildet, wurde in der Vorlesung oder Übung gezeigt.
Du sollst dich nun mit einer Teilmenge dieses Vektorraumes beschäftigen, nämlich mit den injektiven Homomorphismen von V nach W.
Ist das ein Untervektorraum von Hom(V,W)?
Dazu ist zu prüfen:
1. Ist Inj(V,W) nichtleer?
2. abgeschlossen bzgl. der Addition, d.h. ist die Summe zweier injektiver Abbildungen stets injektiv?
3. abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit Skalaren.
Du kannst hier aber auch etwas anders ansetzen. In jedem UVR muß die Null des VRs enthalten sein. Ist das hier der Fall?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi!
Dementsprechend müsste es doch ein untervektorraum sein, da die addition oder skalarmultiplikation nie zu einer surjektiven abbildung führen kann, oder?
Andererseits ist die Null von Hom ja die Nullfunktion und die ist nicht injetiv. Das würde eindeutig zeigen dass es kein untervektorraum ist....
Ich hätte dann aber noch eine Frage: Dann müsste " Sei [mm] Sur(V,W)\subsetHom(V,W)...." [/mm] doch aber kein Untervektorraum sein, oder?
Danke
Dustin
|
|
|
| |
|
> Hi!
> Dementsprechend müsste es doch ein untervektorraum sein,
> da die addition oder skalarmultiplikation nie zu einer
> surjektiven abbildung führen kann, oder?
Hallo,
das verstehe ich nicht... Wieso interessiert Dich surjektiv? Es geht doch jetzt um die injektiven Homomorphismen. (Übrigens: "nicht injektiv" bedeutet keinesfalls "nicht surjektiv".)
> Andererseits ist die Null von Hom ja die Nullfunktion und
> die ist nicht injetiv. Das würde eindeutig zeigen dass es
> kein untervektorraum ist....
So ist das.
>
> Ich hätte dann aber noch eine Frage: Dann müsste " Sei
> [mm]Sur(V,W)\subsetHom(V,W)...."[/mm] doch aber kein Untervektorraum
> sein, oder?
Richtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
