lineare Abh.von vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. Für welche [mm] t\in \IR [/mm] sind die Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] linear ahängig?
(1,3,4); (3,t,11); (-1,-4,0)
2. Beweise das [mm] v_a,...,v_5 [/mm] linear abhängig sind!
[mm] v_1=a+b+c+d
[/mm]
[mm] v_2=2a+2b+c-d
[/mm]
[mm] v_3=a+b+3c-d
[/mm]
[mm] v_4=a-c+d
[/mm]
[mm] v_5=-b+c-d [/mm] |
1.
[mm] \pmat{ 1\\ 3 \\ 4 }= p*\pmat{ 3 \\ t \\ 11 }+ q*\pmat{ -1 \\ -4 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & -1 \\ t & -4 \\ 11 & 0 } \vektor{1 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
daraus ergibt sich q= [mm] \bruch{4}{11} [/mm] und in II eingesetzt ergibt sich [mm] p=\bruch{49}{11t}
[/mm]
setzt man p und q in I ein ergibt sich t= [mm] \bruch{147}{15}
[/mm]
stimmt das soweit schonmal?
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> 1. Für welche [mm]t\in \IR[/mm] sind die Vektoren aus [mm]\IR^3[/mm] linear
> ahängig?
> (1,3,4); (3,t,11); (-1,-4,0)
>
> 2. Beweise das [mm]v_a,...,v_5[/mm] linear abhängig sind!
> [mm]v_1=a+b+c+d[/mm]
> [mm]v_2=2a+2b+c-d[/mm]
> [mm]v_3=a+b+3c-d[/mm]
> [mm]v_4=a-c+d[/mm]
> [mm]v_5=-b+c-d[/mm]
> 1.
> [mm]\pmat{ 1\\ 3 \\ 4 }= p*\pmat{ 3 \\ t \\ 11 }+ q*\pmat{ -1 \\ -4 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ t & -4 \\ 11 & 0 } \vektor{1 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>
> daraus ergibt sich q= [mm]\bruch{4}{11}[/mm] und in II eingesetzt
Aus der Gleichung
[mm]4=p*11+q*0[/mm]
folgt doch
[mm]\red{p}=\bruch{4}{11}[/mm]
> ergibt sich [mm]p=\bruch{49}{11t}[/mm]
>
> setzt man p und q in I ein ergibt sich t= [mm]\bruch{147}{15}[/mm]
>
>
> stimmt das soweit schonmal?
Leider nicht.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
ich habe mich verschrieben, ich meinte ja p.
Aber was stimmt an dem Rest nicht?
stimmt mein q schon nicht?
Ich wäre dankbar, wenn man dazu schreibt WAS nicht stimmt! denn sonst komme ich nicht weiter!
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
Für lineare Abh. ist doch eine LK des Nullvektors aus den 3 gegebenen Vektoren zu bestimmen, in der nicht alle Koeffizienten verschwinden.
Bestimme also zu [mm] $\lambda\cdot{}\vektor{1\\3\\4}+\mu\cdot{}\vektor{3\\t\\11}+\nu\cdot{}\vektor{-1\\-4\\0}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] eine Lösung [mm] $\lambda,\mu,\nu$, [/mm] bei der mindestens einer Parameter [mm] \neq [/mm] 0 ist
Am besten packst du die 3 Vektoren als Spalten in eine Matrix und bringst diese in Zeilenstufenform ...
Alternativ kannst du - falls ihr Determinanten - schon hattet, die Determinante der Matrix [mm] $\pmat{1&3&-1\\3&t&-4\\4&11&0}$ [/mm] in Abh. von t bestimmen (Regel von Sarrus ist da hilfreich)
Was sagt dir das über lineare (Un-)Abhängigkeit?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:44 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
okay...also in Zeilenstufenform bringen und [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] bestimmen oder z.B. ein oder zwei davon gleich festlegen? Ich denke mal ehr die berechnen....
da ergibt sich am ende dann:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & t-3 & -1 \\ 0 & 0 & 4t-13} \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
demnach ist [mm] \nu [/mm] = [mm] \bruch{13}{4t} [/mm] und das setze ich dann in die anderen variablen ein.
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
ohne Rechenweg kann ich nicht nachvollziehen, wie Du zu dieser Matrix kommst - oder nur mit sehr viel Mühe, indem ich nämlich Linearkombinationen der ursprünglichen Zeilen ermittle, die zu Deinem Endstand passen.
Trotzdem kann ich sicher sagen, dass das Ergebnis nicht stimmt, weil das richtige t (das ich über die Determinantenmethode ermittelt habe) Dein System nicht löst.
Wo Dein Fehler liegt, kann ich aber (s.o.) ohne Rechenweg nicht sagen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
zur 2. Aufgabe:
das ist ein 4-dimensionaler Vektorraum, stimmt das?
Und kann ich die lineare abhängigkeit folgendermaßen zeigen:
[mm] a*v_1+b*v_2+c*v_3+d*v_4+e*v_5= [/mm] 0??
oder wie zeigt man das?
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> zur 2. Aufgabe:
>
> das ist ein 4-dimensionaler Vektorraum, stimmt das?
Aus der Aufgabe geht das nicht hervor.
> Und kann ich die lineare abhängigkeit folgendermaßen
> zeigen:
>
> [mm]a*v_1+b*v_2+c*v_3+d*v_4+e*v_5=[/mm] 0??
>
> oder wie zeigt man das?
Im Grund ist obiger Ansatz richtig.
Hier kollidieren aber die a,b,c,d als Koeffizienten,
mit den a,b,c,d als Vektoren.
Daher ist der folgende Ansatz besser:
[mm]\alpha*v_1+\beta*v_2+\gamma*v_3+\delta*v_4+\epsilon*v_5=0[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
ja, die griechischen Bezeichnungen wollte ich sowieso verwenden, aber der Ansatz stimmt soweit? Also die Variablen berechnen und z.B in zeilenstufenform bringen diese zu berechnen..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 18.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
> ja, die griechischen Bezeichnungen wollte ich sowieso
> verwenden, aber der Ansatz stimmt soweit? Also die
> Variablen berechnen und z.B in zeilenstufenform bringen
> diese zu berechnen..
Yep.
Ich würde aber, um es noch deutlicher zu machen, Vektorpfeile verwenden, also:
[mm] a_{1}*\vec{v_{1}}+a_{2}*\vec{v_{2}}+a_{3}*\vec{v_{3}}+a_{4}*\vec{v_{4}}+a_{5}*\vec{v_{5}}=\vec{0}
[/mm]
Sobald du für die [mm] a_{i} [/mm] eine Lösung ausserhalb der sogenannten "trivialen Lösung" [mm] a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=0 [/mm] findest, sind die Vektoren linear abhängig.
Marius
|
|
|
| |
|
ich habe jetzt [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon [/mm] berechnen. Alle ergeben 0 außer [mm] \alpha= [/mm] -1 stimmt das?
und damit ist jetzt gezeigt, das sie linear abhängig sind??
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
das kann nicht stimmen.
Mach doch mal die Probe...
Du hast Dich irgendwo verrechnet. Außerdem müssen mindestens zwei der Koeffizienten [mm] \not=0 [/mm] sein, es sei denn, eine Gleichung heißt 0=0. Selbst dann könntest Du ja kein dazugehöriges [mm] \alpha [/mm] bestimmen, es wäre beliebig.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
ich habe nochmal gerechnet und jetzt für alle 0 rausbekommen. stimmt das also auch nicht? Irgendwie stehe ich grad glaub ich auf dem schlauch....
|
|
|
| |
|
> ich habe nochmal gerechnet und jetzt für alle 0
> rausbekommen. stimmt das also auch nicht? Irgendwie stehe
> ich grad glaub ich auf dem schlauch....
Hallo,
rechne genau vor, dann können wir Dir sagen, wo Dein Fehler liegt.
Daß es falsch ist, steht außer Zweifel.
--
Im Grunde aber braucht man überhaupt nichts zu rechnen:
gehe ich recht in der Annahme, daß a,b,c,d linear unabhängige Vektoren eines VRes V sind?
Dann spannen diese einen Unterraum U der Dimension 4 auf.
Nun haben wir es in der Aufgabe mit 5 Vektoren eines 4-dimensionalen Unterraumes zu tun...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:26 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
ja, wegen dem 4 dimensionalen raum und 5GL sind sie nicht linear abhängig. das weiß ich ja, aber wenn ich das LGS löse komme ich auf überall 0 bzw [mm] \alpha [/mm] =-1 habe es sogar online lösen lassen das Gleichungssystem aber da komme ich auch drauf das alles 0 ist.
das zeigen ist das problem. das sie nicht linear abhängig sind weiß ich ja.
Msthegirl
|
|
|
| |
|
> aber wenn ich das LGS
> löse komme ich auf überall 0 bzw [mm]\alpha[/mm] =-1 habe es sogar
> online lösen lassen das Gleichungssystem aber da komme ich
> auch drauf das alles 0 ist.
Hallo,
wenn Du etwas zu Deiner Lösung des Gleichungssystems wissen möchtest, mußt Du es von A-Z hier vorrechnen.
Sonst weiß doch kein Mensch, was Du tust und wo etwaige Fehler liegen.
(Ich weiß auch gerade gar nicht, von welchem [mm] \alpha [/mm] Du redest.)
War die Aufgabenstellung denn nun eigentlich so, daß a,b,c,d linear unabhängig?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> zur 2. Aufgabe:
>
> das ist ein 4-dimensionaler Vektorraum, stimmt das?
Trotz MathePowers Antwort finde ich die Idee nicht so schlecht. Zumindest kannst Du eine bijektive Zuordnung eines vierdimensionalen Untervektorraums eines Vektorraums mit unbekannter Dimension erstellen - Du hast ja nur lineare Gleichungen mit den vier Variablen a,b,c,d.
Da kann es keine 5 linear unabhängigen Gleichungen geben.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Aufgabe |
> 2. Beweise das [mm]v_a,...,v_5[/mm] linear abhängig sind!
> [mm]v_1=a+b+c+d[/mm]
> [mm]v_2=2a+2b+c-d[/mm]
> [mm]v_3=a+b+3c-d[/mm]
> [mm]v_4=a-c+d[/mm]
> [mm]v_5=-b+c-d[/mm] |
Hallo,
ein bißchen wundere ich mich ja darüber, wie Ihr so entspannt diese Aufgabe löst...
Es wäre doch schon erwähnenswert, was a,b,c,d sein sollen - sonst ist die Aufgabe komplett sinnlos.
Na gut, ein Routineblick in die Kristallkugel teilt mir mit:
linear unabhängige Vektoren aus einem VR V.
Das sollte aber mal gesagt werden. Vermutlich steht's in der Aufgabenstellung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Also wenn die Vektoren aus dem R-Vektorraum kommen, dann bestehen die Vektoren aus einer zeile.
Das würde ja bedeuten, wenn man die a,b,c,d nur als Konstanten benutzt, dass wir nur eine Gleichung mit 5 Unbekannten haben.
Wie soll man denn da rausfinden, ob es außer der trivialen Lösung noch weitere Lösungen gibt?
Das ist wieder so eine Aufgabe die überhaupt keinen Spaß macht.
|
|
|
| |
|
> Also wenn die Vektoren aus dem R-Vektorraum kommen, dann
> bestehen die Vektoren aus einer zeile.
Hallo,
nein, nicht unbedingt.
Man weiß über das Aussehen von a,b,c,d nichts.
Es gibt ja auch Vektorräume, deren Elemente (=Vektoren) z.B. Funktionen sind.
> Das würde ja bedeuten, wenn man die a,b,c,d nur als
> Konstanten benutzt,
Ich hatte ja nun mehrmals nach der Aufgabenstellung gefragt, sie ist ja nicht vollständig gepostet.
Aber die Erfahrung lehrt, daß dort stand: Sei V ein Vektorraum über [mm] \IR, [/mm] seien a,b,c,d [mm] \in [/mm] V.
Das bedeutet: a,b,c,d sind Vektoren - von welcher Machart sie sind, interessiert nicht weiter.
Bei dieser Aufgabe muß man nichts rechnen, das habe ich oben ja schon gesagt.
Man muß hier ein bißchen bescheid wissen über das, was in der Vorlesung über Basis, Dimension, erzeugen und lineare Unabhängigkeit erzählt wurde:
Wenn a,b,c,d linear unabhängig sind (ich weiß immer noch nicht, ob das in der Aufgabenstellung vorkam), dann spannen sie einen Untervektorraum U der Dimension 4 von V auf.
Sind sie nicht linear unabhängig, dann ist die Dimension des von ihnen aufgespannten Raumes eben kleiner als 4.
Gegeben sind nun 5 Vektoren [mm] v_i, [/mm] welche dem Unterraum U entstammen.
Wir haben festgestellt: U hat höchstens die Dimension 4.
Was bedeutet das? Jede Basis von U enthält höchstens 4 linear unabhängige Vektoren.
Eine Basis ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge.
Damit können in diesem Raum maximal 4 Vektoren linear unabhängig sein.
[mm] \{v_1, ..., v_5\} [/mm] enthält aber 5 Vektoren, welche folglich linear abhängig sein müssen.
Durchdenke das genau. Es ist wichtig fürs Verständnis. Wichtiger, als die Rechnerei mit irgendwelchen Zahlen.
Und: in der Klausur sparst Du natülich viel Zeit, wenn Du weißt, daß 8 Vektoren eines 6-dimensionalen Raumes nicht linear unabhängig sein können.
Wer hier dann rechnet, dem läuft die Zeit davon - auch, wenn er zum richtigen Ergebnis kommt.
Jetzt rechnen wir aber doch noch, weil ich Dir etwas zeigen will.
Wir gehen jetzt davon aus, daß in der Aufgabe stand, daß a,b,c,d vier linear unabhängige Vektoren des VRes V üer [mm] \IR [/mm] sind.
Jetzt rechnen wir mal aus, daß das wirklich der Fall ist:
Zunächst überlegen wir, was die Voraussetzung, daß a,b,c,d linear unabhängig sind, bedeutet:
Aus [mm] \lambda_aa+\lambda_bb+\lambda_cc+\lambda_dd=0 [/mm] (Nullvektor) folgt, daß [mm] \lambda_a=\lambda_b=\lambda_c=\lambda_d=0 [/mm] gilt.
Um herauszufinden, ob die [mm] v_i [/mm] linear unabhängig sind, müssen wir herausfinden, ob die Gleichung
[mm] \mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3+\mu_4v_4+\mu_5v_5=0 [/mm] nur die eine Lösung [mm] \mu_i=0 [/mm] hat.
Auf geht's:
Sei [mm] \mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3+\mu_4v_4+\mu_5v_5=0
[/mm]
==> [mm] \mu_1(a+b+c+d)+\mu_2(2a+2b+c-d)+\mu_3(a+b+3c-d)+\mu_4(a-c+d )+\mu_5(-b+c-d)=0
[/mm]
Jetzt sortieren wir nach den Vektoren a,b,c,d:
[mm] ==>(m_1+2\mu_2+\mu_3+\mu_4)a+ [/mm] (...)b+(...)c+(...)d=0
Da wir wissen, daß a,b,c,d linear unabhängig sind, müssen die Klammern alle =0 sein.
Dies liefert uns ein lineares Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten.
> dass wir nur eine Gleichung mit 5
> Unbekannten haben.
> Wie soll man denn da rausfinden, ob es außer der
> trivialen Lösung noch weitere Lösungen gibt?
Entweder weiß man, daß das bei solchen Gleichungssystemen der Fall ist, oder man löst es halt...
> Das ist wieder so eine Aufgabe die überhaupt keinen Spaß
> macht.
Tja.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
sorry, ich habe die nachricht anscheinend nicht abgesendet, in der ich geschrrieben habe, dass bewiesen werden soll, das die vektoren linear abhängig sind. ich habe sie jetzt als LGS aufgeschrieben und bekomme immer überall 0 raus.
Die anderen schritte, die du gezeigt hast konnte ich jetzt aber nachvollziehen. Ich hatte es bloß in einer anderen Form aufgeschrieben (Matrixform)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
um welche Aufgabe gehts denn?
dass du bei 2 nichts rechnen sollst hast du hoffentlich mitgekriegt. Dass die richtige antwort zu 1 schon da steht auch. Dass wir deine Fehler nicht sehen können, wenn du nur sagst, was du nicht rauskriegst auch.
Wo bleibt jetzt noch ne Frage?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ich habe abgefangén, das als Lineares Gleichungssystem zu schreiben, denn ich muss ja beweisen, dass [mm] v_1,..,v_5 [/mm] linear ABHÄNGIG sind.
Das was angela [mm] mit\mu_1 [/mm] und so aufgeschrieben hat habe ich nun als LGs mit a,b,c,d aufgeschrieben umd die a,b,c,d zu berechnen bzw [mm] \mu. [/mm]
Aber ich muss das wenn dann richtig begründen und da weiß ich nicht wie das lauten muss. denn als begrpndung für die Aufgabe reicht es nicht aus: 5 Gleichungen, 4Unbekannte...
|
|
|
| |
|
Hallo mathegirl,
ja, die Gleichungen sind linear abhängig, weil sie (Unterraum, Basis etc.) gar nicht linear unabhängig sein können.
Wenn Du das auch zeigen willst, musst Du eine Lösung finden, in denen mindestens zwei der Koeffizienten [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon \not=0 [/mm] sind.
Wenn Du als einzige Lösung eine mit nur Nullen hast, dann íst diese Lösung falsch. Einen Fehler finden wir aber nur, wenn Du Deine Rechnung mit postest.
Liebe Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
also wie gesagt, ich habe versucht das zu übernehmen und zu verstehen, was angela geschrieben hat mit [mm] (\mu_1+2\mu_2+\mu_3+\mu_4)a...usw....
[/mm]
aber das reicht ja nicht auszuzeigen, dass die vektoren linear abhängig sind. ich habe dann das LGS aufgestellt:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1} \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
so...nachdem ich die Gleichungen eliminiert und vertauscht habe erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & -8} \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
also gilt für d= 0 , c= 0, b= 0, a=0
|
|
|
| |
|
> also wie gesagt, ich habe versucht das zu übernehmen und
> zu verstehen, was angela geschrieben hat mit
> [mm](\mu_1+2\mu_2+\mu_3+\mu_4)a...usw....[/mm]
>
> aber das reicht ja nicht auszuzeigen, dass die vektoren
> linear abhängig sind. ich habe dann das LGS aufgestellt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1} \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
Hallo,
na, da sieht man ja schon den Fehler.
Deine Matrix stimmt nicht.
Die erste Zeile müßte doch [mm] \pmat{1\\2\\1\\1} [/mm] sein, die weiteren Zeilen dann entsprechend.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:03 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 2:
Wir können davon ausgehen, dass a, b, c und d Elemente eines Vektorraumes V über einem Körper K sind ( was V ist , ist völlig egal)
Nun betrachten wir U:= lineare Hülle von {a,b,c,d}
Dann ist dimU [mm] \le [/mm] 4 und mit $ [mm] v_1,...,v_5 [/mm] $ haben wir 5 Elemente dieses maximal 4-dim. Unterraumes U
Also müssen $ [mm] v_1,...,v_5 [/mm] $ linear abhängig in U und damit auch linear abhängig in V sein.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Do 19.11.2009 | | Autor: | chesn |
Wo hast du jetzt dieses v her? Du musst nach t auflösen, ich komme dabei auf [mm] t=\bruch{37}{4}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -1 \\ 3 & t & -4 \\ 4 & 11 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
III - [mm] 4\*I \to \pmat{ 1 & 3 & -1 \\ 3 & t & -4 \\ 0 & -1 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
II - [mm] 3\*I \to \pmat{ 1 & 3 & -1 \\ 0 & (t-9) & -1 \\ 0 & -1 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] 4\*II [/mm] + III [mm] \to \pmat{ 1 & 3 & -1 \\ 0 & (t-9) & -1 \\ 0 & 4t-37 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Aus der letzten Zeile folgt dann 4t=37 bzw. [mm] t=\bruch{37}{4}
[/mm]
Ergo: Die Vektoren sind linear Abhängig für [mm] t=\bruch{37}{4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
aber zeigt man mit dem Nullvektor nicht die lineare unabhängigkeit, so wie das angela in dem beitrag zur 2. Aufgabe gezeigt hat?
|
|
|
| |
|
> aber zeigt man mit dem Nullvektor nicht die lineare
> unabhängigkeit, so wie das angela in dem beitrag zur 2.
> Aufgabe gezeigt hat?
Hallo,
Dein Kommilitone hat geschaut, für welche t das Gleichungssystem
[mm] \lambda(1,3,4)+\mu(3,t,11)+\nu [/mm] (-1,-4,0) = (0,0,0)
mehr Lösungen als nur die triviale hat.
Das ist lediglich für [mm] t=\bruch{37}{4} [/mm] der Fall, für dieses t also sind die drei Vektoren linear abhängig.
In allen anderen Fällen hingegen hat das System nur die Lösung [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] , die Vektoren sind dann also linear unabhängig.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
