lineare Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 So 14.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich bin mir gerade nicht ganz sicher, ob ich folgende Aufgabe richtig verstehe:
Sei V ein reeller Vektorraum und [mm] a,b,c,d,e\in [/mm] V. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abhängig sind:
[mm] v_1=a+b+c
[/mm]
[mm] v_2=2a+2b+2c-d
[/mm]
[mm] v_3=a-b-e
[/mm]
[mm] v_4=5a+6b-c+d+e
[/mm]
[mm] v_5=a-c+3e
[/mm]
[mm] v_6=a+b+d+e
[/mm]
Sehe ich das jetzt richtig, dass die [mm] v_i [/mm] Linearkombinationen von a,b,c,d und e sein sollen, ja? Also kann ich ein LGS aufstellen und auf Zeilenstufenform bringen?
Wenn ja, dann schaffe ich das sicherlich noch alleine. 
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Bonsoir!
Gute Frage... :)
Aber ich würde die Aufgabe jetzt tatsächlich so verstehen, dass es sich bei [mm] v_{i} [/mm] (i = 1,2,...,6) in der Tat um Linearkombinationen der gegebenen Vektorraumkomponenten a, b, c, d sowie e handelt, und deine Aufgabe darin besteht, zu zeigen, dass jene [mm] v_{i} [/mm] linear abhängig sind.
Wie du das machst, bleibt dir überlassen, aber so in Erinnerung an meine Lin. Alg. I-Vorlesung klingt die Idee mit dem LGS gar nicht 'mal so schlecht.
Die Frage ist nur, ob dann tatsächlich eine Zeilenstufenform der Weisheit letzter Schluss sein wird... :)
Au revoir,
jeublanc.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du kannst dir die Rechnung sparen. 
Da der von $a, [mm] \, b,\, c\,, d,\, [/mm] e$ aufgespannte Vektorraum $Span(a,b,c,d,e)$ höchstens die Dimension $5$ haben kann, kann wegen
[mm] $Span(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6) \subseteq [/mm] Span(a,b,c,d,e)$
(denn die [mm] $v_i$ [/mm] sind ja Linearkombinationen von [mm] $a,\, b,\, c,\, d,\, [/mm] e$)
auch der von [mm] $v_1,\,v_2,\, v_3,\, v_4,\, v_5,\, v_6$ [/mm] aufgespannte Vektorraum höchstens die Dimension $5$ haben. Daher sind die sechs Vektoren in jedem Fall linear abhängig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber jeu_blanc, lieber Stefan!
Danke für eure Antworten.
@ Stefan:
Das hatte ich mir fast gedacht, dass man das auch noch irgendwie anders zeigen kann. Dass der besagte Vektorraum höchstens Dimension 5 haben kann ist eigentlich klar, aber ich glaub, das fiel mir gestern irgendwie nicht ein. Und dass [mm] Span(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6) \subseteq [/mm] Span(a,b,c,d,e) gilt, darauf wäre ich wahrscheinlich erstmal nicht gekommen, ist aber eigentlich auch klar.
Aber dann ist die Aufgabe ja eigentlich fast Blödsinn, jedenfalls ist das "zeigen Sie" dann sehr kurz.
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: @ jeu_blanc: Darf ich fragen, ob du Franzose bist? Oder nur einfach gerne französisch sprichst?
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![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]"){kind=small}
