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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Sa 26.04.2008 | | Autor: | verkackt |
| Aufgabe | Prüfen Sie die folgende linearen Funktionale auf Beschränktheit und bestimmen Sie ggf. deren Operatornormen:
[mm] a)A:L^{2}(a,b)\to [/mm] R [mm] Af:=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] b)A:l^{2}\to [/mm] R Ax:= [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] |
Hi,
ich bräuchte dringend Hilfe bei der Aufgabe.Ich weiß, dass die Beschränktheit bedeutet: [mm] \exists [/mm] M>0, so dass
[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel \le [/mm] M [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] wobei [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel=M [/mm] ist.
Mein Hauptproblem ist, dass ich gar nicht weiß, welche Norm ich hier nehmen soll!
Es wäre super, dass jemand mir einen Tipp geben könnte, wie ich hier anfangen soll.
Danke im Voraus.
Lg V.
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Schau mal in den Wikipedia-Artikel zu normierten Räumen. Die Definition der Operatornorm findest du ![[]](/images/popup.gif) hier. Die zu verwendende Vektornorm ergibt sich aus den Räumen, also [mm] L^2 [/mm] bzw. [mm] l^2 [/mm] (Definitionen stehen direkt über der der Operatornorm).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 27.04.2008 | | Autor: | verkackt |
Hallo Generation...x und alle andere,
erstmal danke dir für deine Antwort.Das hilft mir leider nicht weiter. Die Seite und der Inhalt ist mir schon bekannt.Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das anwenden soll.Soll ich z.B.
[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel ={\integral_{a}^{b}\vektor{{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}}^2)}}^\bruch{1}{2}
[/mm]
schreiben und damit weiter arbeiten.
Oder wie sieht [mm] dann\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] aus?Schon der Anfang macht mir Probleme.Sonst weiß ich, wie die Norm auf [mm] L^{2} [/mm] definiert ist und wie man Beschränktheit zeigen soll.
Es ist sehr dringend, damit ich anfange und endlich weiter komme.Danke euch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 So 27.04.2008 | | Autor: | verkackt |
> Oder wie sieht [mm]dann\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] aus?
hier meinte ich natürlich [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] A:L^{2}(a,b)\to\IR
[/mm]
bedeutet, dass [mm] f\in L^2 [/mm] und somit [mm] \parallel f\parallel =\parallel f\parallel_{L^2}=\int_a^bf(x)^2dx
[/mm]
Für einen lin.Operator gilt
[mm] \parallel A\parallel=sup\frac{\parallel Af\parallel}{\parallel f\parallel}=sup\{\parallel Af\parallel ; \parallel f\parallel=1\}
[/mm]
Ciao.
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