lineare diff.glg-vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 So 23.01.2005 | | Autor: | beni |
Hallo,
die lösungen einer lineare Differentialgleichung können ja als vektorraum betrachtet werden, da die summe 2er Lsg und eine Lsg mal einer Zahl wieder eine Lösung darstellen.
Heißt das, dass die Lösungen einer Differntialgleichung n-ter Ordnung einen n- dimensionalen Vektorraum bilden?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 23.01.2005 | | Autor: | hanna |
Hallo Beni!
> die lösungen einer lineare Differentialgleichung können ja
> als vektorraum betrachtet werden, da die summe 2er Lsg und
> eine Lsg mal einer Zahl wieder eine Lösung darstellen.
ja, wenn man das homogene lineare Differentialgleichungssystem (hier später abgekürzt mit DGS) [mm]y'=Ay[/mm], mit [mm] A: I \to \IK^{n \times n}[/mm] stetige Abb. bzw Matrix mit Konstanten, betrachtet.
Ein Kriterium, das du allerdings bei deinen Überlegungen vergessen hast, ist dass die Nulllösung IMMER Lösung des Systems ist und damit die Null im Vektorraum ist.
Der Vektorraum hat die Dimension n.
Du kennst sicherlich den Satz über die Eindeutigkeit von Lösungen von linearen Differentialgl.:
Sei [mm]\IK = \IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm], [mm]I \subset \IR[/mm] ein offenes Intervall und [mm] A: I \to \IK^{n \times n}[/mm] sowie
[mm]b: I \to \IK^{n}[/mm] stetige Abb..
Dann gibt es zu jedem [mm]x_{0}\in I[/mm] und [mm]c \in \IK^{n}[/mm] genau eine Lösung des Anfangswertproblems [mm]y'=A(x)y+b(x)[/mm], [mm]y(x_{0})=c[/mm].
Soweit ich das verstehe, ordnet man also jedem Anfangswert genau eine Lösung zu, also besteht ein Isomorphismus [mm]\IK^{n}\to V[/mm], wenn [mm]V[/mm] die Menge alles Lösungen des homogenen DGS ist.
hm, ich hoffe, ich konnte dir das jetzt verständlich machen... ansonsten sieh einfach mal in einem Buch nach, was dort zur linearen Unabhängigkeit von Lösungen eines DGS steht.
Im inhomogenen Fall bilden die Lösungen einen n-dim. affinen Unterraum.
Gruß,
Hanna
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