lineare unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 26.06.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: ein System [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] in einem n-dimensionalen Euklidischen/untiären Raum ist genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix [mm] ()_{i,j=1,...,n} [/mm] ungleich 0 ist |
Hey leute,
ich komme irgendwie nicht ganz drauf, wie man das macht aber ich denke wenn man per induktion über die dimension des Vektorraums zeigen kann, dass die Matrix immer vollen Rang hat, hat man die hinrichtung schon mal gezeigt, bei der rückrichtung könnte man denke ich auch mal irgendwie aus dem vollen Rang der Matrix die lin.unabh. folgern
hoffe die gedanken sind richtig und jemand kann mir weiterhelfen.
Danke du Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo AriR.
Nimm an, die [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] seien linear abhängig. Dann existieren also Koeffizienten [mm] $\lambda_1,...,\lambda_n\in \IK$, [/mm] die nicht alle $0$ sind, mit [mm] $\sum \lambda_i v_i=0$. [/mm] Dann ist auch das Skalarprodukt [mm] $\langle\sum \lambda_i v_i,v_j\rangle=0$ [/mm] für alle $j=1,2,...,n$. Kannst du daraus auf die lineare Abhängigkeit der Spalten von [mm] $(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}, a_{ij}=\langle v_j,v_i\rangle$ [/mm] schließen?
Nimm nun umgekehrt an, die [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] seien linear unabhängig und eine Linearkombination des Nullvektors durch die Spalten der obigen Matrix gegeben. Du erhältst dann einen Vektor, der auf allen [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] senkrecht stehen muss, was nur für den Nullvektor möglich ist.
Ich habe den zweiten Teil bewusst etwas knapp gehalten, da du hier möglichst viel selbst finden sollst.
Liebe Grüße,
Hanno
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