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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Phys |
ich soll zeigen dass der Raum der Funktionen C( [mm] \IR) [/mm] die folgendes Kriterium erfüllen:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
cf(x)=f(cx)
ein linearer Raum ist.
Jetzt denk ich mal dass man zeigen muß dass dieser Raum den Rechenregeln für Addition und Multiplikation mit Skalaren genügt, doch wie wend ich hier die Regeln an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Mo 10.04.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Phys!
> ich soll zeigen dass der Raum der Funktionen C( [mm]\IR)[/mm] die
> folgendes Kriterium erfüllen:
> (f+g)(x)=f(x)+g(x)
> cf(x)=f(cx)
> ein linearer Raum ist.
Da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen, ich vermute mal es müsste heißen
$(cf)(x)=c*f(x)$
oder? 
> Jetzt denk ich mal dass man zeigen muß dass dieser Raum
> den Rechenregeln für Addition und Multiplikation mit
> Skalaren genügt, doch wie wend ich hier die Regeln an?
Tipp: Du weißt ja, dass [mm] $f(x)\in\IR$ [/mm] für beliebiges x. Du kannst also die Rechenregeln in [mm] $\IR$ [/mm] verwenden, um die Rechenregeln des VR nachzuweisen.
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Di 11.04.2006 | | Autor: | prfk |
Also das würde ich so nicht unterschreiben. Die Syntax für eine Funktion ist doch "Funktionsname(Argument 1, Argument 2, ... , Argument n)"
Was soll den (cf)(x) sein? du kannst doch nicht den Namen der Funktion mit c multiplizieren.
Meiner Meinung nach ist das schon in Ordnung, wie es in der Frage steht.
Was genau soll den die von dir Vorgeschlange Syntax mathematisch bedeuten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Di 11.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Also das würde ich so nicht unterschreiben. Die Syntax für
> eine Funktion ist doch "Funktionsname(Argument 1, Argument
> 2, ... , Argument n)"
Ja und weiter? Da shat mit der Aufgabe leider nicht viel zu tun.
> Was soll den (cf)(x) sein? du kannst doch nicht den Namen
> der Funktion mit c multiplizieren.
Das macht man auch nicht - f steht ja für die Funktion, also multipliziert man die Funktion mit c.
> Meiner Meinung nach ist das schon in Ordnung, wie es in der
> Frage steht.
Nein, das wäre so Unfug - denn dann wär es kein Vektorraum.
> Was genau soll den die von dir Vorgeschlange Syntax
> mathematisch bedeuten?
Das, was taura hingeschrieben hat. Die Definition von [m]c\cdot f[/m] eben.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Di 11.04.2006 | | Autor: | taura |
Hallo prfk!
Also erstmal hätte ich es schön gefunden, wenn du deinen Einwand etwas netter formuliert hättest... Wie wärs mit "Hallo" und "Gruß" so wie es hier üblich ist?
Was deinen Einwand angeht: Wie SEcki schon sagte ist meine Schreibweise schon richtig so. In der Frage ging es nämlich um den Vektorraum der stetigen Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] dessen "Vektoren" eben grade Funktionen sind. Damit es nun aber Sinn macht, von einem Vektorraum zu sprechen, muss eine skalare Multiplikation definiert sein, die ein Element der zugrundeliegenden Körpers mit einem Element des Vektorraums verknüpft. Also eine Abbildung [mm] $*_{_{skalar}}:K\times [/mm] V [mm] \to [/mm] V;\ \ [mm] (\alpha, v)\mapsto \alpha*v$
[/mm]
In der obigen Notation entspricht das c dem [mm] $\alpha$ [/mm] und das f dem v.
Damit diese skalare Multiplikation aber Sinn macht (denn das siehst du schon richtig, zunächst mal macht die Multiplikation eines Skalars mit eine Funktion keinen Sinn), muss eben definiert werden, was hier damit gemeint ist, und genau diese Aussage trifft man durch die Definition $(c*f)(x):=c*f(x)$, sprich gemeint ist hier eine komponentenweise Multiplikation.
Ich hoffe, jetzt ist deutlicher geworden, was ich damit gemeint habe.
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Di 11.04.2006 | | Autor: | prfk |
Tut mir leid ich wollte nicht unfreundlich klingen.
Ich hab nun eingesehen, was du meinst und dass du natürlich recht hast :)
Gruß
prfk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Di 11.04.2006 | | Autor: | Phys |
Vielen Dank Taura und Entschuldigung für den von dir entdeckten Fehler in der Frage
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