linearisierung einer Funktion < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Fr 15.10.2010 | | Autor: | x61 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Punkte:
[mm] x_i [/mm] 1 4 7 10
[mm] y_i [/mm] 15 7 2 1
Diese Punkte sollen durch die Funktion [mm] G_b(x)=b_0e^{b_1*x} [/mm] approximiert werden.
1, Linearisieren sie den Ansatz. Sie erhalten eine Funktin [mm] F_a(x)a_0+a_1x
[/mm]
2, Als Abstandfunktion soll [mm] D_a)=\summe_{i=1}^{n}(F_a(x_i)-y_i)^2 [/mm] verwendet werden.Leiten sie dafür das Normalengleichungssystem her.
3,Fühern sie den Geradenausgleich mit den Punkten für den linearisierten Ansatz durch. |
Hallo,
auf den ersten Blick dachte ich, das wäre alles ja ganz einfach. Aber ich scheitere doch schon an 1.
1,
Zuerst sollte ich doch logarithmieren:
[mm] lnG_b(x)=ln(b_0*e^{b_1*x})
[/mm]
= [mm] lnb_0 [/mm] + [mm] b_1*x
[/mm]
Wie geht es nun weiter ? das ist
Zu 2,
Ehrlich gesagt habe ich von Abstandfunktion noch nie was gehört. Genauso wie Normalengleichungssystem. Was genau soll das sein?
Zu 3,
Das wäre vielleicht die einzige die ich lösen könnte wenn die Funktion so wie in 1, [mm] F_a(x)a_0+a_1x [/mm] aussieht.
[mm] a_1= \bruch{\summe_{i=1}^{n}x_iy_i-n*\bar x*\bar y}{\summe_{i=1}^{n}x_i^2-n*\bar x^2}
[/mm]
[mm] a_0=\bar [/mm] y-a_1x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Fr 15.10.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo x61,
zunächsteinmal vermute ich, dass es unter 1 heißen muss: [mm] F_a(x) [/mm] = [mm] a_0+a_1x.
[/mm]
Das einmal vorausgesetzt denke ich, dass die Linearisierung von [mm] G_b(x) [/mm] zu [mm] F_a(x) [/mm] einfach durch Reihenentwicklung von [mm] G_b(x) [/mm] (also im Wesentlichen der Exponentialfunktion) erfolgen soll. Damit erhält man einen Zusammenhang zwischen den a und den b (Koeffizientenvergleich).
Bei 2 soll man nun das Normal(en)gleichungssystem aufstellen. Siehe hierzu z.B. ftp://buggy.homeip.net/pub/Mathematik/Handbuch_der_Mathematik/DATEN/KAP_16/NODE100.HTM
oder einfacher ausgedrückt: Du sollst bei diesem konkreten Beispiel die gegebene Abstandsfunktion [mm] D_a [/mm] minimieren (Fehlerquadratmethode) was ja letztlich auf ein lineares Gleichungssystem führt, eben das Normal(en)gleichungssystem.
Zu 3: Jetzt sollst Du das Gleichungssystem auch noch lösen, d.h. Du erhälst [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] und daraus kannst Du dann [mm] b_0 [/mm] und [mm] b_1 [/mm] berechnen, damit Du eine Approximation durch [mm] G_b [/mm] erhältst.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Sa 16.10.2010 | | Autor: | x61 |
Erstmal danke für deine Antwort!
Mit der Reihenentwicklung komm ich zu keinem brauchbaren Ergebnis oder ich bekomme es einfach nicht hin. Ich habe nun mal einen anderen Ansatz probiert.
Ich hatte ja [mm] lnG_b(x)=lnb+b_1x
[/mm]
für
[mm] lnG_b(x)=v
[/mm]
x=u
lnb=d
[mm] b_1=c
[/mm]
somit v=cu+d
Die Tabelle wird mit mit [mm] lny_i [/mm] erstellt.
[mm] \vmat{ n & x_i & lny_i & x_i^2 & x_i*lny_i \\ 1 & 1 & 2,71 & 1 & 2,71 \\ 2 & 4 & 1,946 & 16 & 7,78 \\ 3 & 7 & 0,693 & 49 & 4,85 \\ 4 & 10 & 0 & 100 & 0\\ \summe & 22 & 5,347 & 166 & 15,34}
[/mm]
[mm] \bar x_i=5,5
[/mm]
[mm] \bar y_i=1,337 [/mm]
nach der obigen Formel für die Regressionsgerade [mm] a_1= \bruch{\summe_{i=1}^{n}x_iy_i-n\cdot{}\bar x\cdot{}\bar y}{\summe_{i=1}^{n}x_i^2-n\cdot{}\bar x^2} [/mm] =-0,313
y-1,337=-0,313(x-5,5)
y=-0,313x+3,057
Jetzt transformiere ich die Werte wieder zurück:
lnb=d [mm] --->b=e^d=e^3,057=21,27
[/mm]
[mm] c=b_1=-0,313
[/mm]
Damnach wäre die Funktion [mm] F_a(x)=21,27*e^{-0,313x}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Sa 16.10.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
so ist das genau richtig.
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