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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
| Aufgabe | Für x>0sei [mm] f(x)=\bruch{(ln x)²}{x}
[/mm]
a) Untersuchen die Funktion f.
b) Es bezeichne g die von der 1.Achse verschiedene Tangente vom Koordinatenursprung (0/0) aus an den Graphen vonf. Gib eine Gleichung von g an, und berechne den Flächeninhalt der vom Graphen von f und der Tangente eingeschlossenen Fläche.
Hinweis : Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit dem graphen von f mit dem Newtonschen Näherungsverfahren auf zwei stellen nach dem Komma genau.
c) Für 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] e bildet die Tangente an den Graphen von f durch P(x/f(x)) mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme x so, dass das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt hat. |
Hi Leute, würde mich freune wnen ihr mir das mal vorrechnet und mir es dabei erklärt was ihr genau gerechnet habt.
Ich verstehe kaum was.
Das einzige was ich vllt selber rechenen könnte wäre der Fläscheninhalt in Aufgabe b), wenn ich die Tangente dazu habe.
Fände es wirklich toll wenn ihr mir helft.
schreibe am30.04 ja die Abiklausur in Mathe.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Do 23.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das funktioniert hier andersrum, du schreibst deine Lösungen hier hin, und wir kontrollieren.
Aber einige Tipss noch:
> Für x>0sei [mm]f(x)=\bruch{(ln x)²}{x}[/mm]
>
> a) Untersuchen die Funktion f.
Für die Ableitungen brauchst du eine Kombination aus Quotienten und Kettenregel.
Die Bedingungen für Wendepunkte/Extrempunkte etc. kennst du?
> b) Es bezeichne g die von der 1.Achse verschiedene Tangente
> vom Koordinatenursprung (0/0) aus an den Graphen vonf. Gib
> eine Gleichung von g an, und berechne den Flächeninhalt der
> vom Graphen von f und der Tangente eingeschlossenen
> Fläche.
> Hinweis : Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit dem
> graphen von f mit dem Newtonschen Näherungsverfahren auf
> zwei stellen nach dem Komma genau.
Du hast eine Tangente, die durch dein Ursprung geht, also eine Gerade der Form t(x)=mx.
Jetzt weisst du, dass f(x) die Steigung f'(x) hat, also muss gelten m=f'(x)
Also ist: t(x)=f'(x)*x
Um den Berührpunkt B herauszubekommen, setze nun t(x)=f(x)
> c) Für 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] e bildet die Tangente an den Graphen
> von f durch P(x/f(x)) mit den Koordinatenachsen ein
> Dreieck. Bestimme x so, dass das Dreieck einen maximalen
> Flächeninhalt hat.
Den Flächeninhalt des Dreieck kannst du hier mit den Koordiunaten von P(p/f(p)) ausdrücken, es gilt: [mm] A(p)=\bruch{1}{2}*p*f(p)
[/mm]
Und davon bestimme mal das Maximum mit den bekannten Kriterien.
> Hi Leute, würde mich freune wnen ihr mir das mal
> vorrechnet und mir es dabei erklärt was ihr genau gerechnet
> habt.
> Ich verstehe kaum was.
> Das einzige was ich vllt selber rechenen könnte wäre der
> Fläscheninhalt in Aufgabe b), wenn ich die Tangente dazu
> habe.
> Fände es wirklich toll wenn ihr mir helft.
> schreibe am30.04 ja die Abiklausur in Mathe.
>
> LG
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
Ich weiß, dass es eigentlich nadersherum läuft, aber ihc weiß nciht wieich ln ableiten soll.
die bedingungen kenne ich fpr extremstellen und so.
deswgen habe ich einfach mla gefragt ob mir das mla jemand zeigen kann wie es funktioniert.
ich schaue jetzt mal wie weit ich komme, aber ich fände es nett wnen mir jemand die ableitunegn sagt und mit den einzelnen schritten beschreibt wie er auf ie lösung gekommen ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Do 23.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] f(x)=\ln(x) [/mm] hat die Ableitung [mm] f'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
das weiß ich ja, aber ich weiß nicht wie ich das mit den ganzen brüchen und so ausrechenn kann und wie ich dass dann zusammenfassen kann oder aufschreibe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 23.04.2009 | | Autor: | konvex |
Hi,
a) nullstellen is klar: f(x)=0 => x=1
f'(x)= [mm] \bruch{2*ln(x)*\bruch{1}{x}*x-(lnx)^{2}}{x^{2}}
[/mm]
setze f'(x)=0 => x= [mm] e^{2}
[/mm]
also x= [mm] e^{2} [/mm] in f''(x) = [mm] \bruch{(\bruch{2}{x}-2*ln(x)*\bruch{1}{x})*x^{2} - (2*ln(x)- (ln(x))^{2})*2*x}{x^{4}} [/mm] einsetzen
=> x= [mm] e^{2} [/mm] ist maximum da [mm] f''(e^{2})<0 [/mm] ist
wendepunkte eben 3.ableitung bilden...
b) g=mx+n, wegen (0,0) ist 0=m*0+n => n=0 also g=mx
anstieg m is ja immer 1.ableitung also setzt du oben die ableitung ein g=f'(x)*x
und ich würde wenn ich den flächeninhalt berechne das integral berechnen.......
hoffe das hilft dir
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
könntest du mir vllt die einzelnen schritte aufschreiben, wei du auf die ableitungen gekommen bist.
das ist nämlcih eins meiner größten Probleme
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Hallo!
Gegeben ist die Funktion $f(x) = [mm] \bruch{(\ln(x))^{2}}{x}$. [/mm] Bevor du ableiten kannst, musst du immer erst die Struktur der Funktion erkennen.
Hier kannst du sehen, dass die Funktion zunächst ein Quotient ist, d.h. ein Bruch mit Zähler und Nenner. Wenn du also die Funktion ableiten möchtest, musst du zuerst die Quotientenregel bemühen:
[mm] $\left(\bruch{u(x)}{v(x)}\right)' [/mm] = [mm] \bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^{2}}$
[/mm]
Bei dir ist
$u(x) = [mm] (\ln(x))^{2}$
[/mm]
$v(x) = x$
Um die Quotientenregel anwenden zu können, musst du nun noch $u'(x)$ und $v'(x)$ bestimmen.
$v'(x) = 1$
sieht man denk ich leicht. Und nun ist $u'(x)$ dran.
Wieder müssen wir erkennen, was für eine Struktur hier bei der Funktion $u(x) = [mm] (\ln(x))^{2}$ [/mm] vorliegt. Wir haben eine so genannte "verkettete" Funktion, d.h. wir haben eine "innere Funktion" $g(x) = [mm] \ln(x)$, [/mm] die dann noch quadriert wird, das "Quadrieren" ist die "äußere Funktion" $h(x) = [mm] x^{2}$.
[/mm]
Wir haben also eine verkettete Funktion, wir müssen folglich die Kettenregel anwenden. Diese lautet:
[mm] $\Big(h(g(x))\Big)' [/mm] = [mm] h'(\quad g(x)\quad [/mm] )* g'(x)$
Man spricht: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Wir müssen also als erstes die äußere Funktion
$h(x) = [mm] x^{2}$
[/mm]
ableiten, alle x müssen aber dann wieder durch g(x), die innere Funktion, ersetzt werden. Es ist
$h'(x) = 2*x$
Also lautet der erste Teil der Kettenregel:
$u'(x) = [mm] \Big(h(g(x))\Big)' [/mm] = [mm] h'(\quad g(x)\quad [/mm] )* g'(x) = [mm] 2*\ln(x)*g'(x)$
[/mm]
Nun müssen wir noch g'(x) von $g(x) = [mm] \ln(x)$ [/mm] herausfinden, bekanntermaßen ist die Ableitung des Logarithmus [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] also ist $g'(x) = [mm] \bruch{1}{x}$. [/mm] Insgesamt ist also
$u'(x) = [mm] \Big(h(g(x))\Big)' [/mm] = [mm] h'(\quad g(x)\quad [/mm] )* g'(x) = [mm] 2*\ln(x)*g'(x) [/mm] = [mm] 2*\ln(x)*\bruch{1}{x}$
[/mm]
Nun haben alles ermittelt, um die Quotientenregel anwenden zu können:
[mm] $\left(\bruch{u(x)}{v(x)}\right)' [/mm] = [mm] \bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2*\ln(x)*\bruch{1}{x}*x-(\ln(x))^{2}*1}{x^{2}}$
[/mm]
Das Vereinfachen überlasse ich dir 
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
danke für deine Hilfe,
hab es jetzt teilweise verstanden.
versuche mla die 2. Ableitung zu lösen und schreibe sie dann hierhin.
dann könnt ihr mich ja verbessern, wenn es falsch ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
irgendwie versteh ich nicht wieso da nur eine 2 als h' steht und keine 2x, weil die ableitung ja 2x war.
$ u'(x) = [mm] \Big(h(g(x))\Big)' [/mm] = [mm] h'(\quad g(x)\quad )\cdot{} [/mm] g'(x) = [mm] 2\cdot{}\ln(x)\cdot{}g'(x) [/mm] = [mm] 2\cdot{}\ln(x)\cdot{}\bruch{1}{x} [/mm] $
vllt kann mir das ja jemand erklären
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> irgendwie versteh ich nicht wieso da nur eine 2 als h'
> steht und keine 2x, weil die ableitung ja 2x war.
>
> [mm]u'(x) = \Big(h(g(x))\Big)' = h'(\quad g(x)\quad )\cdot{} g'(x) = 2\cdot{}\ln(x)\cdot{}g'(x) = 2\cdot{}\ln(x)\cdot{}\bruch{1}{x}[/mm]
>
> vllt kann mir das ja jemand erklären
Hallo!
Das x von den 2x ist nicht verschwunden, wir haben es bloß im Zuge der Kettenregel durch g(x) ersetzt.
h'( g(x) )
heißt ja nichts anderes als: Leite die äußere Funktion h(x) ab, und ersetze dann alle x wieder durch g(x).
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Do 23.04.2009 | | Autor: | konvex |
du hast [mm] (lnx)^{2} [/mm] = [mm] 2*ln(x)\bruch{1}{x}
[/mm]
du musst die kettenregel anwenden indem du
1. zuerst [mm] (lnx)^{2} [/mm] wie [mm] x^{2} [/mm] behandelst dh. [mm] x^{2} [/mm] wäre die ableitung 2x und beim ln entsprechend 2*ln(x) (das is also die äußere ableitung)
2. und nun betrachtest du ln(x) dh. das was in der klammer steht und leitest es ab, also bei ln(x) ist das dann [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
3. setzt du das zusammen erhälst du [mm] 2ln(x)\bruch{1}{x} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
wie mache ich das denn um es zu vereinfachen.
mir fällt nur auf, dass ich das ln(x) im Zähler ausklammern kann.
und das x kann man bestimmt auch noch irgendwie wegbekommen, oder?
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Hallo!
Man kann nicht viel Vereinfachen: Bloß
$f'(x) = [mm] \bruch{2\cdot{}\ln(x)\cdot{}\bruch{1}{x}\cdot{}x-(\ln(x))^{2}\cdot{}1}{x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2\cdot{}\ln(x)-(\ln(x))^{2}}{x^{2}}$
[/mm]
Um Nullstellen zu finden eignet sich eventuell noch die folgende Umformung:
$f'(x) = [mm] \bruch{2\cdot{}\ln(x)-(\ln(x))^{2}}{x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\ln(x)*(2-\ln(x))}{x^{2}}$
[/mm]
Zum Ableiten benutz' aber lieber die obere Variante.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
kann man die 2.Ableitung wieder mit der Quotientenregel lösen?
aber man kann doch nciht den ganzen Zähler z.B als u(x) nehmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Do 23.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
> kann man die 2.Ableitung wieder mit der Quotientenregel
> lösen?
Yep, kann man.
> aber man kann doch nciht den ganzen Zähler z.B als u(x)
> nehmen, oder?
Doch. Aber die "Teilableitung" von [mm] (\ln(x))^{2} [/mm] muss wieder per Kettenregel gelöst werden.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Do 23.04.2009 | | Autor: | LaDyAnNi |
wenn man´den kompletten Zähler als u nehmen kann, ist die ableitung von
u(x)=2ln(x)-(ln(x))² dann [mm] u'(x)=2*\bruch{1}{x}-2ln(x)*\bruch{1}{x}
[/mm]
oder ist das schon wieder falsch?
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ist schon richtig ;)
als ich anfangs noch arge probleme hatte mit quotienten und kettenregel, hab ichs meist mit ![[]](/images/popup.gif) Online-Ableitungen überprüft ;)
muss man nur drauf achten, funktionen mit [] statt () zu schreiben. bei deinem beispiel wäre die eingabe
2ln[x]-(ln[x]) ^2
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