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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:56 Mi 01.09.2004 | | Autor: | pang |
hallo,
es geht um lösung von gleichungen die wie folgt aussehen:
Für welche reellen Werte s besitzt das folgende Gleichungssystem a) keine Lösung, b) genau eine Lösung und c) unendlich viele Lösungen?
(3 + s)x1 -x2 -3x3 = -2
5x1 +(s - 2)x2 -4x3 = -1
3x1 -x2 +(s - 3)x3 = -3
hat jemand ne idee?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo pang,
Den Gaußschen Algorithmus mit Fallunterscheidungen durchführen.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Do 02.09.2004 | | Autor: | pang |
hallo,
danke für die schnelle antwort.
obwohl die mir nicht viel weiter hilft, weil ich probleme habe mit dem rechen mit den vielen (s-1) usw. klammern....
gibt es dafür einen tipp. bzw. wäre jemand so nett um die aufgabe mal durchzurechen...bin seit 5 tagen dabei ohne lösung.
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Do 02.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo pang
erst mal:
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
aber du kennst den Gauss-Algorithmus schon, oder?
Deine Gleichungen sehen ja so aus:
[mm] $(s+3)x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = -2$
[mm] $5x_1 [/mm] + [mm] (s-2)x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = -1$
[mm] $3x_1 [/mm] + - [mm] x_2 [/mm] + [mm] (s-3)x_3 [/mm] = -3$
Um sich ein Wenig Schreibarbeit zu sparen, verzichtet man in der Regel auf die Variablenbezeichnungen: man schreibt das Gleichungssystem als erweiterte Matrix. Die Koeffizienten schreibt amn als Matrix, und die Werte rechst der Gleichheitszeichen als Erweiterung rechts hinein, durch einen Senkrechten Strich etwas abgesetzt:
[mm] $\begin{pmatrix}s+3&-1&-3&\mid&-2\\5&s-2&-4&\mid&-1\\3&-1&s-3&\mid&-3\end{pmatrix}$
[/mm]
So, jetzt ist das erste Ziel, in der ersten Kolonne durch addieren von geeigneten Vilefachen der 1. Zeile zur 2. resp. 3. Zeile Nullen entstehen zu lassen.
Um die zweite Zeile zu bearbeiten, dividiere ich die erste Zeile durch $s+3$ und multipliziere mit $-5$, für die 3. Zeile dividiere ich die erste Zeile durch $s+3$ und multipliziere mit $-3$, um nachher die Addition zu machen.
Und da siehst du die nötige Fallunterscheidung: man darf ja nie durch $0$ dividieren, $s+3$ darf also nicht $0$ sein, also: $s [mm] \not [/mm] = -3$
Für das Folgende setzen wir also $s [mm] \not [/mm] = -3$ voraus, müssen diesen Spezialfall aber auch noch untersuchen!
Ich gehe mal ganz kleine Schrittchen: ich dividiere einfach mal die 1. Zeile durch $s+3$:
[mm] $\begin{pmatrix}1&\bruch{-1}{s+3}&\bruch{-3}{s+3}&\mid&\bruch{-2}{s+3}\\5&s-2&-4&\mid&-1\\3&-1&s-3&\mid&-3\end{pmatrix}$
[/mm]
Um die zweite Zeile zu behandeln, multipliziere ich die 1. Zeile mit $-5$:
[mm] $\begin{pmatrix}-5&\bruch{5}{s+3}&\bruch{15}{s+3}&\mid&\bruch{10}{s+3}\\5&s-2&-4&\mid&-1\\3&-1&s-3&\mid&-3\end{pmatrix}$
[/mm]
und addiere die erste Zeile zur zweiten Zeile:
[mm] $\begin{pmatrix}-5&\bruch{5}{s+3}&\bruch{15}{s+3}&\mid&\bruch{10}{s+3}\\0&\bruch{s^{2}+s-1}{s+3}&\bruch{-4s+3}{s+3}&\mid&\bruch{-s+7}{s+3}\\3&-1&s-3&\mid&-3\end{pmatrix}$
[/mm]
Die erste Zeile schreibe ich wieder wie sie vor dem Multiplizieren mit $-5$ war, die zweite Zeile multipliziere ich mit $s+3$, um die Brüche wieder wegzukriegen:
[mm] $\begin{pmatrix}1&\bruch{-1}{s+3}&\bruch{-3}{s+3}&\mid&\bruch{-2}{s+3}\\0&s^{2}+s-1&-4s+3&\mid&-s+7\\3&-1&s-3&\mid&-3\end{pmatrix}$
[/mm]
Um die dritte Zeile zu behandeln, multipliziere ich die 1. Zeile mit $-3$:
[mm] $\begin{pmatrix}-3&\bruch{3}{s+3}&\bruch{9}{s+3}&\mid&\bruch{6}{s+3}\\0&s^{2}+s-1&-4s+3&\mid&-s+7\\3&-1&s-3&\mid&-3\end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt addiere ich die erste Zeile zur dritten Zeile:
[mm] $\begin{pmatrix}-3&\bruch{3}{s+3}&\bruch{9}{s+3}&\mid&\bruch{6}{s+3}\\0&s^{2}+s-1&-4s+3&\mid&-s+7\\0&\bruch{-s}{s+3}&\bruch{s^{2}}{s+3}&\mid&\bruch{-3s-3}{s+3}\end{pmatrix}$
[/mm]
Die erste Zeile schreibe ich wieder so, wie sie ursprünglich war, und die dritte Zeile multipliziere ich mit $s+3$, um die Brüche wieder wegzukriegen:
[mm] $\begin{pmatrix}s+3&-1&-3&\mid&-2\\0&s^{2}+s-1&-4s+3&\mid&-s+7\\0&-s&s^{2}&\mid&-3s-3\end{pmatrix}$
[/mm]
So, die erste Zwischenetappe ist erreicht: in der zweiten und 3. Zeile stehen an erster Stelle je eine Null!
Das sah nach viel Arbeit aus, war es aber in Wirklichkeit nicht. Hier nur, weil ich wirklich jeden kleinsten Schritt ausführlich hingeschrieben habe. In der Praxis macht man vieles im Kopf (nach genügend Uebung, natürlich).
Jetzt das zweite Zwischenziel: mit Hilfe der zweiten Zeile soll in der 3. Zeile in der 2. Kolonne eine Null entstehen. Dazu habe ich die zweite Zeile mit [mm] $s^{2}+s+4$ [/mm] zu dividieren und mit $s$ zu multiplizieren. Dabei darf natürlich der Ausdruck [mm] $s^{2}+s-1$ [/mm] nicht $= 0$ sein. Eine kurze Ueberprüfung bestätigt aber unser Glück - sofern wir nur mit reellen Koeffizienten arbeiten - dass [mm] $s^{2}+s-1$ [/mm] nicht Null werden kann!
Edit: nach der Korrektur des Rechenfehlers stimmt das nicht mehr!
Also frisch ans Werk, hier ohne lästige Fallunterscheidung, dividieren der zweiten Zeile durch [mm] $s^{2}+s-1$: [/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}s+3&-1&-3&\mid&-2\\0&1&\bruch{-4s+3}{s^{2}+s-1}&\mid&\bruch{-s+7}{s^{2}+s-1}\\0&-s&s^{2}&\mid&-3s-3\end{pmatrix}$
[/mm]
... und jetzt noch die zweite Zeile mit $s$ multipliziert:
[mm] $\begin{pmatrix}s+3&-1&-3&\mid&-2\\0&s&\bruch{s(-4s+3)}{s^{2}+s-1}&\mid&\bruch{s(-s+7)}{s^{2}+s-1}\\0&-s&s^{2}&\mid&-3s-3\end{pmatrix}$
[/mm]
Nun die zweite Zeile zur dritten addiert:
[mm] $\begin{pmatrix}s+3&-1&-3&\mid&-2\\0&s&\bruch{s(-4s+3)}{s^{2}+s-1}&\mid&\bruch{s(-s+7)}{s^{2}+s-1}\\0&0&\bruch{s^{4}+s^{3}-5s^{2}+3s}{s^{2}+s-1}&\mid&\bruch{-3s^{3}-7s^{2}+7s+3}{s^{2}+s-1}\end{pmatrix}$
[/mm]
Am Besten multipliziere ich die dritte Zeile wieder mit [mm] $s^{2}+s-1$ [/mm] und schreibe die zweite Zeile so, wie sie nach dem ersten Zwischenziel mal war:
[mm] $\begin{pmatrix}s+3&-1&-3&\mid&-2\\0&s^{2}+s-1&-4s+3&\mid&-s+7\\0&0&s^{4}+s^{3}-5s^{2}+3s&\mid&-3s^{3}-7s^{2}+7s+3\end{pmatrix}$
[/mm]
So, das sieht jetzt doch etwas komplizierter aus, als ich es erwartet hatte. Ich muss das abends nochmals kontrollieren (oder besser du), ob da nirgends ein Rechenfehler drin steckt!
Du kannst ja auch noch den Fall $s=-3$ untersuchen, was dann herauskommt.
Falls meine Rechnung stimmt, siehst du an der Letzten Zeile der matrix auch, dass mit $s=0$ das Gleichungssystem keine Lösungen haben kann (es gibt schon eine Lösungsmenge, nämlich die Leere 
Mit lieben Grüssen
und bis später
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Do 02.09.2004 | | Autor: | pang |
danke...bin gerade am nachrechen....
melde mich wieder
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo pang
ich habe zwar einen Fehler korrigiert, es bleibt aber doch zu kompliziert.
Aber, wie Dieter geschrieben hat: die Gleichung muss ja gar nicht gelöst werden!!!
Ich Depp habe das ganz übersehen! Nun ja, es gibt eben immer noch Analphabeten auf dieser Welt!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:11 Fr 03.09.2004 | | Autor: | pang |
hallo paulus,
danke für deine mühe. naja eigentlich sollten wir diese aufgaben lösen ohne determinanten. da wir die nicht hatten..deswegen war dein ansatz überhaupt nicht falsch für meine frage sondern 100% richtig....
also vielen dank.
ich finde das es auch derbe kompliziert wird besonders in die 3. zeile ne null reinzubekommen...
ich mach dann mal für heute schluss und mach morgen weiter....
lg andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Fr 03.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hi!
Wenn du, wie du geschrieben hast, nur wissen willst, für welche Werte es genau eine Lösung gibt, musst du nicht unbedingt den Gauß-Algorithmus "mit den vielen (s-1)" durchführen. Es reicht die Determinante der Matrix [mm] \pmat{3+s & -1 & -3 \\ 5 & s-2 & -4 \\ 3 & -1 & s-3} [/mm] zu berechnen, was [mm] s^3-2s^2+s =s(s^2-2s+1)=s(s-1)^2ergibt. [/mm] An den Nullstellen der Determinante, also 0 und 1 ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar, bei den beiden Fällen musst du noch untersuchen, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Für alle anderen s gibt es genau eine Lösung.
Gruß
dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Dieter
vielen Dank für den Hinweis. Ich Trottel habe mal die Aufgabe nicht richtig gelesen. Und meinem Sohn predige ich immer: bevor du zu rechnen beginnst, versichere dich, dass du die Aufgabe genau gelesen und auch verstanden hast!
Na ja, durch Schaden wird man klug!
Mit lieben Grüssen
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