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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mo 22.05.2006 | | Autor: | c.t. |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{dz}{z}} [/mm] für [mm] \gamma:[0,2]\to\IC \gamma(t)=t+exp(2*\pi*i*t) [/mm] |
Hallo,
Die Idee ist klar, ich Zerlege den Weg und suche dann für jeden dieser Wege ein Zweig des Logarithmus, denn ich weiß, dass die Stammfunktion von 1/z eben gerade ein solcher Logarithmuszweig ist und ich dann das Integral durch [mm] F(\gamma(2))-F(\gamm(0)) [/mm] berechnen kann.
Also:
Wenn ich [0,2] in [0,1] und [1,2] zerlege, habe ich doch das Problem, dass ich, wegen [mm] exp(2*\pi*i*t)+t, [/mm] auf jeden dieser Intervalle einen ganzen Kreis beschreibe, was ja zu stetigkeitsproblemen beim Logarithmus führt.
Muss ich also eine noch feinere Zerlegung wählen?
Und dann kommt ja das Hauptproblem!!! Wie wähle ich die Zweige?????
Ich weiß zwar theoretisch, dass ich einen irgendwie heraus nehmen muss und dadurch Ebenen schlitze, aber anwenden vermag ich das noch nicht.
Ich bitte darum, dass mir jemand dieses Finden, Definieren und Umgehen mit Zweigen des Logarithmus an der obigen Aufgabe erklärt.
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Betrachte die folgenden Teilstücke von [mm]\gamma[/mm]:
[mm]\gamma_1: \ \ \gamma_1(t) = \gamma(t) \, , \ \ t \in [0,1] \ \ \text{(rot)}[/mm]
[mm]\gamma_2: \ \ \gamma_2(t) = \gamma(t) \, , \ \ t \in [1,2] \ \ \text{(blau)}[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann ist [mm]\gamma = \gamma_1 + \gamma_2[/mm] und folglich
[mm]\int_{\gamma}~\frac{\mathrm{d}z}{z} \ = \ \int_{\gamma_1}~\frac{\mathrm{d}z}{z} \ + \ \int_{\gamma_2}~\frac{\mathrm{d}z}{z}[/mm]
Über der Spur von [mm]\gamma_1[/mm] mit Ausnahme der Endpunkte ist der Zweig [mm]L_1(z)[/mm] des Logarithmus mit [mm]0 < \arg(z) < 2 \pi[/mm] eine Stammfunktion des Integranden, über der Spur von [mm]\gamma_2[/mm] ist das der Zweig [mm]L_2(z)[/mm] mit [mm]- \pi < \arg(z) < \pi[/mm].
Folglich gilt
[mm]\int_{\gamma_1}~\frac{\mathrm{d}z}{z} = L_1(2 - \operatorname{i} \cdot 0) - L_1(1 + \operatorname{i} \cdot 0)[/mm]
Die Schreibweise [mm]L_1(2 - \operatorname{i} \cdot 0)[/mm] soll andeuten, daß der Grenzwert bei Annäherung an [mm]2[/mm] aus der unteren Halbebene zu nehmen ist - es ist also [mm]\arg(2) = 2 \pi[/mm] zu wählen. Entsprechend ist bei [mm]L_1(1 + \operatorname{i} \cdot 0)[/mm] der Grenzwert bei Annäherung an [mm]1[/mm] aus der oberen Halbebene zu nehmen - es ist also [mm]\arg(1) = 0[/mm] zu wählen.
Keine Probleme mit dem Argument gibt es dagegen bei
[mm]\int_{\gamma_2}~\frac{\mathrm{d}z}{z} = L_2(3) - L_2(2)[/mm]
Beide Male ist das Argument [mm]0[/mm].
Ich habe als Wert des Integrals
[mm]\int_{\gamma}~\frac{\mathrm{d}z}{z} = 2 \pi \operatorname{i} + \ln{3}[/mm]
worin [mm]\ln{x}[/mm] den gewöhnlichen reellen natürlichen Logarithmus bezeichnet.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Di 23.05.2006 | | Autor: | c.t. |
die Welt ist wieder ein bischen klarer geworden, danke
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