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Morgen.
Soll ne Aufgabe zu lokalen Extrema lösen, unsere Vorlesung gibt dazu aber nicht wirklich viel her...
Wie bau ich die NB in die Aufgabe ein?
Man bestimme die lokalen Extrema der Funktion [mm]f:\IR^2\to\IR, (x, y)\mapsto x^2-xy^2[/mm] unter der Nebenbedingung [mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Mo 27.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Morgen.
> Soll ne Aufgabe zu lokalen Extrema lösen, unsere
> Vorlesung gibt dazu aber nicht wirklich viel her...
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> Wie bau ich die NB in die Aufgabe ein?
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> Man bestimme die lokalen Extrema der Funktion
> [mm]f:\IR^2\to\IR, (x, y)\mapsto x^2-xy^2[/mm] unter der
> Nebenbedingung [mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
Löse die NB nach [mm] y^2 [/mm] auf und setze in f ein. Dann erhältst Du
$g(x):= [mm] f(x,y)=x^2-x(1-x^2)$
[/mm]
Untersuche g auf Extremwerte (ohne NB)
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke erstmal.
Sieht dann eigentlich recht einfach aus.
Gibt dann 3 Nullstellen, diese in f'' (part.) einsetzen und aufs Vorzeichen schauen (richtig, oder?).
Falls es das war vielen Dank.
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Hallo,
es geht hier aber nicht um die Nullstellen, sondern um Extremwerte. Also Ableiten ist angesagt...
Gruß, Diophant
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Ja schon.
Paßt so?
[mm]f(x, y)=-x^3+x^2-x
f_{x}(x, y)=-3x^2+x^2-1
\Rightarrow x_{1}=\bruch{1}{3}, x_{2}=-1
f_{xx}(x,y)=-6x+2
f_{xx}(\bruch{1}{3})=0, f_{xx}(-1)=8
\Rightarrow \textrm{lok. Min. bei } x=-1, \textrm{Sattelpunkt bei }x=0[/mm]
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Hallo,
nein, das passt überhaupt nicht. Rechne die Ableitung nochmal gründlich nach. Wo bekommst du bspw. bei der auf den Einheitskreis eingeschränkten Funktion das Minuszeichen vor dem [mm] x^3 [/mm] her? Das ist aber nur einer von mehreren Fehlern!
Gruß, Diophant
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[mm]f(x,y)=x^2-x(1+x^2)=x^3+x^2-x
f_{x}=3x^2+2x-1
[/mm]
Gleich 0 setzen führt zu komplexen Nullstellen...ist so nicht gedacht.
Wo sind denn die weiteren schweren Fehler (sorry, seh einfach keinen)?
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Hallo,
wie kommst du bei der Gleichung
[mm] 3x^2+2x-1=0
[/mm]
auf komplexe Lösungen, das sehe ich irgendwie nicht?
IMO ist die Schreibweise f(x,y) nicht mehr angezeigt, wenn du eine Funktion von nur noch einer Variablen betrachtest. Ich weiß auch nicht genau, welche Konventionen da heutzutage bei den Schreibweisen gelten, aber irgendwie sollte man nach dem Einsetzen der Nebenbedingung ja sehen, dass man nun eine andere Funktion betrachtet? Außerdem hattest du die bereits falsche Gleichung nochmals falsch gelöst. Das meinte ich so im groben mit mehrern Fehlern...
Gruß, Diophant
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OK, peinlich...Ich schiebs mal auf den Montagmorgen...
[mm]g(x,y)=x^3+x^2-x
g_{x}(x,y)=3x^2+2x-1
3x^2+2x-1=0
\gdw x_{1/2}=\bruch{-2\pm\wurzel{4+12}}{6}
\Rightarrow x_{1}=\bruch{1}{3}, x_{2}=-1
\textrm{(ich hatte also vorhin die 'richtigen' x-Werte raus trotz falscher VZ im Polynom...)}
Aber der Rest stimmt doch, oder?[/mm]
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Hallo,
ja: Mathe am Montagmorgen, bringt Kummer und Sorgen. 
Spaß beiseite: jetzt passt es. Du solltest noch nachweisen, dass es sich wirklich um Extrema handelt (der Form halber) und ggf. noch auf Minimum und Maximum untersuchen, bzw. selbige (also als Funktionswerte) angeben.
Gruß, Diophant
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OK. Ich bedanke mich für die Hilfe.
Schönen Tag noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> OK. Ich bedanke mich für die Hilfe.
gern geschehen!
> Schönen Tag noch!
Ebenso!
Gruß, Diophant
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> [mm] g(x,y)=x^3+x^2-x
[/mm]
> [mm] g_{x}(x,y)=3x^2+2x-1
[/mm]
Dass du die neue Funktion nicht mehr mit f bezeichnest,
sondern mit dem neuen Symbol g, ist in Ordnung.
Jedoch ist diese Funktion nicht mehr eine Funktion g(x,y) ,
sondern einfach g(x).
Im Klartext ist ja g(x)=f(x,y(x)) , wobei [mm] (y(x))^2=1-x^2
[/mm]
> [mm] 3x^2+2x-1=0
[/mm]
> [mm] \gdw x_{1/2}=\bruch{-2\pm\wurzel{4+12}}{6}
[/mm]
> [mm] \Rightarrow x_{1}=\bruch{1}{3}, x_{2}=-1
[/mm]
> [mm] \textrm{(ich hatte also vorhin die 'richtigen' x-Werte raus trotz falscher VZ im Polynom...)}
[/mm]
> Aber der Rest stimmt doch, oder?
Du hast noch nicht alle möglichen Werte [mm] x_i [/mm] gefunden,
für welche [mm] g(x_i) [/mm] extremal werden könnte !
LG Al-Chw.
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