lokale Ringe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Kudi |
Hallo!
Mal wieder beschäftigt mich das Thema Ringe.
Sei R ein nullteilerfreier kommutativer Ring.
Es ist zu zeigen:
R ist genau dann lokal, falls für alle r,s [mm] \inR [/mm] mit r+s=1 gilt: r oder s ist eine Einheit.
Wieso stimmt das?? Wie beweist man das?
Vielen Dank
Euer Kudi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=75351&v=t
> Es ist zu zeigen:
> R ist genau dann lokal, falls für alle r,s [mm]\inR[/mm] mit r+s=1
> gilt: r oder s ist eine Einheit.
Gäbe es ein Paar $(r,s)$ von Nichteinheiten, so wäre die Menge der Nichteinheiten kein Ideal (denn dann wäre 1 in dieser Menge, Widerspruch), also $R$ nicht lokal.
Hast du für die Umkehrung selber eine Idee? Du musst zeigen, dass unter der gegebenen Voraussetzung die Menge der Nichteinheiten ein Ideal ist.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 14.06.2005 | | Autor: | Kudi |
Hallo!
Dein Hinweis hat mir leider nicht weiter geholfen. Wie geht denn die Umkehrung?
vielen Dank für deine Hilfe!
Kudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du musst schon etwas genauer darstellen, wo deine Probleme liegen. Hast du denn der ersten Teil verstanden.
Naja.
Es sei $I$ die Menge der Nichteinheiten.
(*) Offenbar ist mit $x [mm] \in [/mm] I$ und $y [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$ auch $xy [mm] \in [/mm] I$. Mache dir das bitte selber klar, es folgt eigentlich direkt. (Okay, ich verrate es: Wäre $xy = e [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$, dann wäre auch [mm] $x=y^{-1}e \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$, da die Menge $R [mm] \setminus [/mm] I$ der Einheiten eine multiplikative Gruppe bildet.)
Zunächst müssen wir zeigen, dass $I$ bezüglich der Addition abgeschlossen ist (denn bezüglich der additiven Inversenbildung ist das offensichtlich), d.h. wir müssen zeigen:
$x,y [mm] \in [/mm] I [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] x+y [mm] \in [/mm] I$.
Wäre $x+y =e$ mit $e [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$. dann wäre:
[mm] $e^{-1}x [/mm] + [mm] e^{-1}y=1$,
[/mm]
was du mit (*) und der angegebenen Voraussetzung zum Widerspruch führen kannst.
Wiederum wegen (*) bleibt jetzt zu zeigen:
$x [mm] \in [/mm] I,y [mm] \in \quad \Rightarrow \quad [/mm] x [mm] \cdot [/mm] y [mm] \in [/mm] I$.
Wäre aber
$x [mm] \cdot [/mm] y = e [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$,
dann wäre:
[mm] $(e^{-1}x)y=1$,
[/mm]
also $y [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$, Widerspruch.
Damit ist alles gezeigt.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
