lokales Minimum oder Maximum < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Wo kann die Funktion f ein lokales Minimum oder Maximum haben?
$f(x) = [mm] \bruch{162}{x³} [/mm] + x²$ |
Hallo Zusammen,
also die erste Ableitung:
$f'(x) = [mm] -\bruch{486}{x^4} [/mm] + 2x$
nun die Nullstellen der ersten Ableitung suchen, um zu sehen an welchen Stellen ein Minimum oder Maximum auftreten könnte.
f'(x) = 0
->
[mm] $-\bruch{486}{x^4} [/mm] + 2x = 0$ [mm] $|\cdot{}x^4$
[/mm]
$-486+2x = [mm] x^4$ [/mm]
[mm] $-x^4+2x-486 [/mm] = 0$
[mm] $x^4-2x+486 [/mm] = 0$
um die p/q-Formel anwenden zu können, muss es aber eine quadratische Gleichung und keine quartische Gleichung sein. Wie forme ich diese Gleichung zu x² um? Vielen Dank im Voraus.
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> Wo kann die Funktion $f$ ein lokales Minimum oder Maximum
> haben?
>
> [mm] $f(x)=\bruch{162}{x^3}+x^3$
[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> also die erste Ableitung:
>
> $f'(x) [mm] =-\bruch{486}{x^4}+2x$
[/mm]
>
> nun die Nullstellen der ersten Ableitung suchen, um zu
> sehen an welchen Stellen ein Minimum oder Maximum auftreten
> könnte.
>
> $f'(x)=0$
> [mm] $\gdw$ [/mm]
> [mm] $-\bruch{486}{x^4} [/mm] + 2x = [mm] 0$\quad$|\cdot{}x^4$
[/mm]
> $-486+2x = [mm] x^4$
[/mm]
> [mm] $-x^4+2x-486=0$
[/mm]
> [mm] $x^4-2x+486=0$
[/mm]
>
> um die p/q-Formel anwenden zu können, muss es aber eine
> quadratische Gleichung und keine quartische Gleichung sein.
> Wie forme ich diese Gleichung zu [mm] $x^2$ [/mm] um? Vielen Dank im
> Voraus.
Hi,
du nimmst fatalerweise an, dass [mm] $0*x^4$ [/mm] als Ergebnis [mm] $x^4$ [/mm] besitzt. Reicht dir das als Tipp (Noch was: wenn du eine Summe mit einem Ausdruck multiplizierst, musst du jeden Teil dieser Summe mit diesem Ausdruck multiplizieren)?
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
> > Wo kann die Funktion [mm]f[/mm] ein lokales Minimum oder Maximum
> > haben?
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{162}{x^3}+x^3[/mm]
> > Hallo Zusammen,
> >
> > also die erste Ableitung:
> >
> > [mm]f'(x) =-\bruch{486}{x^4}+2x[/mm]
> >
> > nun die Nullstellen der ersten Ableitung suchen, um zu
> > sehen an welchen Stellen ein Minimum oder Maximum auftreten
> > könnte.
> >
> > [mm]f'(x)=0[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm]
> > [mm]-\bruch{486}{x^4} + 2x = 0[/mm][mm] \quad[/mm] [mm]|\cdot{}x^4[/mm]
> > [mm]-486+2x = x^4[/mm]
> > [mm]-x^4+2x-486=0[/mm]
> > [mm]x^4-2x+486=0[/mm]
> >
> > um die p/q-Formel anwenden zu können, muss es aber eine
> > quadratische Gleichung und keine quartische Gleichung sein.
> > Wie forme ich diese Gleichung zu [mm]x^2[/mm] um? Vielen Dank im
> > Voraus.
>
> Hi,
>
> du nimmst fatalerweise an, dass [mm]0*x^4[/mm] als Ergebnis [mm]x^4[/mm]
> besitzt.
[mm]0*x^4[/mm] ist doch Null? Nur wie soll mir das weiterhelfen?
> Reicht dir das als Tipp (Noch was: wenn du eine
> Summe mit einem Ausdruck multiplizierst, musst du jeden
> Teil dieser Summe mit diesem Ausdruck multiplizieren)?
ich bringe [mm] x^4 [/mm] auch die andere Seite mit mal dann subtrahiere ich minus [mm] x^4 [/mm] um die Gleichung Null zu setzen und danach multipliziere ich den ganzen Ausdruck mit -1. Daher verstehe ich nicht ganz, wo ich da einen Fehler gemacht hab? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
$$ [mm] -\bruch{486}{x^4} [/mm] + 2*x \ = \ 0 \ \ \ [mm] \left| \ * \ x^4$$
$$-486+2*x^{\red{5}} \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo itse!
>
>
> [mm]-\bruch{486}{x^4} + 2*x \ = 0 [/mm]
so sieht die erste Ableitung aus, nun will ich den Bruch auflösen und bringe diesen mit mal [mm] x^4 [/mm] auf die andere Seite:
[mm]-486 + 2*x \ = x^4 [/mm]
oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Hast Du Dir mal meine Antwort durchgelesen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo itse!
>
>
> Hast Du Dir mal meine Antwort
> durchgelesen?
ja das hab ich und wenn ich es auflöse, wandert doch das [mm] x^4 [/mm] auf die andere Seite (=0)? und bleibt nicht auf der gleichen Seite? wenn ja dann würde natürlich aus x * [mm] x^4 [/mm] = [mm] x^5
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Und nun also die Gleichung [mm] $-486+2*x^5 [/mm] \ = \ 0$ lösen, welche eine schöne glatte Lösung hat.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Robert691 |
> Hallo itse!
>
>
> Und nun also die Gleichung [mm]-486+2*x^5 \ = \ 0[/mm] lösen, welche
> eine schöne glatte Lösung hat.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Nur zur Kontrolle für itse: x=3.
Für Funktion kann also bei x=3 ein Extremum haben.
(Wenn es interessiert: sie hat dort ein lokales, aber kein globales Minimum)
Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Jule_ |
Hi itse,
[mm] 0*x^4 [/mm] = 0 und [mm] 2x*x^4 [/mm] = [mm] 2x^5 [/mm] !!
So wie Loddar es geschrieben hat.
Gruß
Jule
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Jule_ |
> Hi itse,
>
> [mm]0*x^4[/mm] = 0 und [mm]2x*x^4[/mm] = [mm]2x^5[/mm] !!
>
> So wie Loddar es geschrieben hat.
>
> Gruß
>
> Jule
Du musst doch beide Seiten der Gleichung mit [mm] x^4 [/mm] multiplizieren!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
> Hi itse,
>
> [mm]0*x^4[/mm] = 0 und [mm]2x*x^4[/mm] = [mm]2x^5[/mm] !!
>
> So wie Loddar es geschrieben hat.
>
> Gruß
>
> Jule
okay, ich stand wohl gerade sehr auf dem schlauch. ich hatte gestern auch eine Aufgabe gepostet, hierbei war zu überprüfen in welchen Intervallen monoton wachsend bzw. fallend, hier die erste Ableitung davon:
f'(x)=0 -> $ [mm] \bruch{1+x²}{(1-x²)²} [/mm] = 0 $
1+x² = (1-x²)(1-x²)
dann stimmt dies doch auch nicht?, weil 0 * irgendwas, immer Null ist.
also müsste es doch so heißen:
1+x² = 0 ?
dieser Ausdruck ist auch bei x=0 positiv und das Quadrat mach aus jeder negativen Zahl eine positive, somit ist die Funktion sogar streng monoton wachsend für jedes x? Vielen Dank nochmals.
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um wieder auf die Aufgabe zurückzukommen, dann steht nun [mm] -486+2x^5=0 [/mm] da.
[mm] 2x^5 [/mm] = 486
[mm] x^5 [/mm] = 243
x = [mm] \wurzel[5]{243} [/mm] = [mm] 243^\bruch{1}{5} [/mm] = 3
also könnte bei x=3 ein Minimum oder Maximum vorliegen. Dazu die zweite Ableitug bilden:
u=486, u'=0
[mm] v=x^4, [/mm] v'=4x³, [mm] v²=x^8
[/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{0*x^4-486*4x^3}{x^8}+2 [/mm] = [mm] -\bruch{-1944x³}{x^8}+2 [/mm] = [mm] \bruch{1944}{x^5}+2
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{1944}{x^5}+2 [/mm] 'stimmt das?
[mm] f''(3)=\bruch{1944}{3^5}+2 [/mm] = 10, also > 0 somit liegt ein Minimum an der Stelle x=3 vor. Jetzt noch den y-Wert berechnen:
f(3) = [mm] \bruch{162}{3³}+3² [/mm] = 15 -> Die Funktion f(x) = [mm] \bruch{162}{x³}+x² [/mm] hat im Punkt (3/15) ein lokales Minimum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo itse,
jetzt ist Deine Rechnung in Ordnung, wenn es auch zwischendrin etwas wüst hin und her ging.
Zu Deiner ersten Frage mit der Nullstelle des Bruches: Da hast Du richtig erkannt, dass dieser Ausdruck dann zu Null wird, wenn der Zähler des Bruches Null wird. Bei solchen Aufgaben sollte man immer erst den Hauptnenner einer Seite der Gleichung bilden, bevor man weitere Umformungen macht.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
danke an alle die geholfen haben. Eines wäre mir noch wichtig und zwar:
ich hatte gestern auch eine Aufgabe gepostet, hierbei war zu überprüfen in welchen Intervallen monoton wachsend bzw. fallend, hier die erste Ableitung davon:
f'(x)=0 -> $ [mm] \bruch{1+x²}{(1-x²)²} [/mm] = 0 $
1+x² = (1-x²)(1-x²)
dann stimmt dies doch auch nicht?, weil 0 * irgendwas, immer Null ist, auf der anderen Seite muss ich doch nichts mehr multiplizieren, oder?
also müsste es doch so heißen:
1+x² = 0 ?
oder muss ich da noch was mit 1+x² multiplizieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo itse,
zum Nullsetzen der Gleichung langt es, wenn der Zähler dieses Ausdruckes Null ist, wie ich auc schon in meiner oberen Antwort schrieb.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo,
>
> danke an alle die geholfen haben. Eines wäre mir noch
> wichtig und zwar:
>
> ich hatte gestern auch eine Aufgabe gepostet, hierbei war
> zu überprüfen in welchen Intervallen monoton wachsend bzw.
> fallend, hier die erste Ableitung davon:
>
>
> f'(x)=0 -> [mm] \bruch{1+x²}{(1-x²)²} [/mm] = 0
>
> 1+x² = (1-x²)(1-x²)
>
> dann stimmt dies doch auch nicht?, weil 0 * irgendwas,
> immer Null ist, auf der anderen Seite muss ich doch nichts
> mehr multiplizieren, oder?
>
> also müsste es doch so heißen:
>
> 1+x² = 0 ?
>
> oder muss ich da noch was mit 1+x² multiplizieren?
Hallo,
na ja:
die Frage ist doch: welches Vorzeichen hat f'(x) auf dem Definitionsbereich?
Also bitte nicht gleich 0 setzen.
f'(x) [mm] =\bruch{1+x²}{(1-x²)²}
[/mm]
Für x= 1 liegt eine Definitionslücke der Ableitung vor, da der Nenner dort 0 wäre.
Für x ungleich 0 gilt aber immer, dass der Nenner positiv ist (das Quadrat sorgt dafür), ebenso der Zähler 1+x².
Also auf dem Definitionsbereich ist die Ableitung immer positiv.
Im Bereich [mm] ]-\infty;1[ [/mm] ist f strengt monoton wachsend, ebenso im Bereich
[mm] ]1;\infty[.
[/mm]
Grüße.
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