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| Aufgabe | sei K ein körper, [mm] A=(e_{1},e_{2})die [/mm] kartesische basis von [mm] K^2 [/mm] und [mm] B=(v_{1},v_{2}) [/mm] mit [mm] v1=(x_{1},y_{1}),x_{1},x_{2},y_{1},y_{2} \in [/mm] K.sei [mm] \mu [/mm] der Automorphismus von [mm] K^2,der [/mm] bezüglich [mm] (e_{1},e_{2})durch [/mm] die matrix
Mat(A über [mm] A)(\mu)=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
gegeben ist.
a)zeigen sie,dass B genau dann eine basis ist,wenn [mm] x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} \not=0
[/mm]
b)berechnen sie Mat(B über [mm] B)(\mu)
[/mm]
c)bewiesen sie,dass es keine basis [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] von [mm] K^2 [/mm] gibt,bezüglich derer [mm] \mu [/mm] durch eine Matrix der form [mm] \pmat{\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} } [/mm] |
hallo,
ich habe wirklich keine ahnung wie ich das machen soll,kann mir jemand einen tipp geben?mit der kartesischen basis A von [mm] K^2 [/mm] ist doch (1,0) und (0,1) gemeint oder?
gruß
eva marie
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Hallo und frohe Ostern
Also die karthesische Basis oder auch Einheitsbasis des [mm] \IK^2 [/mm] ist $(1, 0)$ und $(0,1)$. Jetzt hast du eine Menge [mm] B={v_{1},v_{2}} [/mm] gegeben mit [mm] v_{1,2}=(x_{1,2},y_{1,2}) [/mm] . Jetzt kannst doch diese beiden Vektoren auch in eine Matrix C schreiben
[mm] C=\pmat{x_{1} & x_{2}\\y_{1} &y_{2}}
[/mm]
Du musst jetzt zeigen, dass die Beiden Spalten linear unabhängig sind, denn dann hast du eine 2-elementige linear unabhängige Menge und das ist eine Basis des [mm] \IK^2. [/mm] Wann sind die beiden Spalten linear unabhängig(Rang einer Matrix!!!). Jetzt hattet ihr bestimmt auch schon, was die Determinate einer Matrix ist und wie die Determinante mit dem Rang einer Matrix zusammenhängt. Das benötigst du um Aufgabe a) zu lösen.
Zur Aufgabe b) sollst du jetzt Die Matrix zum Basiswechsel suchen. Die Transformationsmatrix erhälst du indem du die neuen Basisvektoren [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] als Linearkombination der Alten Basisvektoren [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] darstellst. So lässt sich zum Beispiel der erste neue Basisvektor [mm] v_{1}=(x_{1},y_{1}) [/mm] durch [mm] x_{1}*e_{1}+y_{1}*e_{2} [/mm] darstellen. Die Koeffizienten werden in eine Transformationsmatrix T geschrieben. Die erste Spalte von T sieht also so aus [mm] T=\pmat{x_{1}&. \\ y_{1}&.}. [/mm] Die zweite Spalte kannst du jetzt selbst. Dann musst du T invertieren.
Dann ergibt sich die Neue Matrix bzgl der Basis B aus [mm] A'=T^{-1}*A*T. [/mm]
Bei Aufgabe c) kommt es darauf an, ob ihr die Begriffe Eigenwert eigenvektor und diagonalisierbar schon hattet. Wenn ja einfach nachprüfen ob die Matrix diagonalsierbar ist.
Wenn nicht: in Aufgabe b hast du jetzt die Matrix der Abbildung A bzgl einer beliebigen Basis ausgerechnet. Diese ist ja von [mm] x_{1}, y_{1} x_{2} y_{2} [/mm] abhängig. Dann musst du zeigen, dass es keine [mm] x_{1}, y_{1} x_{2} y_{2} [/mm] gibt so dass auf der Hauptdiagonalen etwas [mm] \not=0 [/mm] steht (warum [mm] \not=0) [/mm] und auf den Nichtdiagonalelementen =0 steht.
Ein langer Text ich hoffe er hilft
Einen schönen Tag
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hallo!
danke für deine super tolle antwort!Aufgabe a habe ich soweit verstanden aber die b) und c) nicht so ganz.
Also ich habe diese transformationsmatrix ausgerechnet,das war ja noch klar aber dann versteh ich gar nicht wie die inverse im zusammenhang mit der ganzen sache steht.auf die transformationsmatrix kommt man doch durch die gleichung [mm] B=Mat^A_{B} [/mm] *B ,aber wie kommst du von hier auf [mm] Mat^B_{B},das [/mm] versteh ich noch nicht ganz.
lieben gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Di 25.03.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich will noch einmal den Tipp von blascowitz aufgreifen, was die c) betrifft.
> Bei Aufgabe c) kommt es darauf an, ob ihr die Begriffe Eigenwert eigenvektor und diagonalisierbar schon hattet. Wenn ja einfach nachprüfen ob die Matrix diagonalsierbar ist.
Leider wird aus deiner erneuten Frage (siehe oben) nicht ersichtlich, ob ihr Diagonalisierbarkeit von Matrizen schon thematisiert habt.
Wenn ihr Diagonalisierbarkeit schon in der VL hattet, kannst du folgendes machen (ansonsten kannst du wohl nicht viel anfangen mit meiner Antwort)
[mm] A=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm]
Eigenwerte berechnen:
[mm] det(A-\lambda*E)=det(\pmat{1-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda } )=(1-\lambda)^2=0 \gdw{\lambda=1} [/mm] Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2.
Jetzt musst du die Eigenvektoren berechnen:
[mm] Kern(A-1*\lambda)=Kern(\pmat{1-1 & 1 \\ 0 & 1-1 })=Kern(\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0 })=span\{\vektor{1 \\ 0}\} [/mm] Hier kann man bereits sehen, dass es keine basis $ [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] $ von $ [mm] K^2 [/mm] $ gibt,bezüglich derer A durch eine Matrix der Form $ [mm] \pmat{\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} } [/mm] $ darzustellen ist.
Wir machen mal weiter:
[mm] Kern((A-1*\lambda)^2)=Kern(\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0 }*\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0 })=Kern(\pmat{0 & 0 \\ 0 & 0 })=span\{\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}\}.
[/mm]
[mm] v_1=\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_2=(A-1*\lambda)*v_1=\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0 }*\vektor{0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] S=\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] also [mm] S^{-1}=\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]
[mm] S^{-1}*A*S=\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 }*\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1 }*\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 }=\pmat{1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm]
Womit gezeigt wäre, dass A nicht diagonalisierbar ist.
MfG barsch
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Hi,
ich schlage eine andere Vorgehensweise bei dieser Aufgabe, ohne Determinante und ohne Basistransformation.
> sei K ein körper, [mm]A=(e_{1},e_{2})die[/mm] kartesische basis von
> [mm]K^2[/mm] und [mm]B=(v_{1},v_{2})[/mm] mit
> [mm]v1=(x_{1},y_{1}),x_{1},x_{2},y_{1},y_{2} \in[/mm] K.sei [mm]\mu[/mm] der
> Automorphismus von [mm]K^2,der[/mm] bezüglich [mm](e_{1},e_{2})durch[/mm] die
> matrix
>
> Mat(A über [mm]A)(\mu)=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> gegeben ist.
> a)zeigen sie,dass B genau dann eine basis ist,wenn
> [mm]x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} \not=0[/mm]
Hier wollen wir eine Bedingung schaffen, unter der [mm] f_1 [/mm] = [mm] (x_1,y_1) [/mm] und [mm] f_2 [/mm] = [mm] (x_2,y_2) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] bilden. Da es lediglich 2 Vekroren sind, reicht es zu zeigen, dass keiner ein Vielfaches des anderen ist. [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] sind nicht linear unabhängig [mm] \gdw f_1 [/mm] = [mm] \lambda f_2. [/mm] Das bedeutet:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \lambda x_2 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] = [mm] \lambda y_2. [/mm] D.h. [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{x_1}{x_2} [/mm] = [mm] \bruch{y_1}{y_2}. [/mm] Die letzte Gleichheit gilt genau dann, wenn [mm] x_1 y_2 [/mm] = [mm] x_2 y_1. [/mm] Also [mm] f_1 [/mm] unf [mm] f_2 [/mm] linear abhängig [mm] \gdw x_1 y_2 [/mm] - [mm] x_2 y_1 [/mm] = 0.
Die letzte Aussage negiert:
[mm] f_1 [/mm] unf [mm] f_2 [/mm] linear unabhängig [mm] \gdw x_1 y_2 [/mm] - [mm] x_2 y_1 \ne [/mm] 0.
> c)bewiesen sie,dass es keine basis [mm](v_{1},v_{2})[/mm] von [mm]K^2[/mm]
> gibt,bezüglich derer [mm]\mu[/mm] durch eine Matrix der form
> [mm]\pmat{\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} }[/mm]
Hier wollen wir zeigen, dass és keine Basis gibt, bzgl der die Matrix von [mm] \mu [/mm] eine diagonalmatrix ist.
Der Spektralsatz besagt, dass [mm] \mu [/mm] genau dann diagonalisierbar ist (also [mm] \IR^2 [/mm] besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von [mm] \mu), [/mm] wenn [mm] \mu [/mm] selbstadjungiert ist. Also muss gelten: (i) [mm] \mu(v1) [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] und [mm] (ii)\mu(v2) [/mm] = [mm] \lambda_2 v_2. [/mm]
(i) gilt, wenn [mm] v_1 \in [/mm] span(e1), also nehmen wir [mm] v_1 [/mm] = [mm] e_1. [/mm] Die einzige Möglichkeit für [mm] v_2 [/mm] ist dann nur [mm] e_2, [/mm] damit die Basis orthogonal bleibt. Aber wie bereits gesehen, wenn die Basis [mm] (e_1,e_2) [/mm] ist, ist die Matrix nicht diagonal.
Wie du siehst, hier haben wir weder Determinante noch Basistransformationsmatrix benutzt. Für Teilaufgabe c haben wir die Begriffe selbstadjungiert und Orthonormalbasis aus Eigenvektoren benutzt, sowie den sehr wichtigen Spektralsatz.
Gruss,
logarithmus
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Hallo nochmal,
Ist jetzt vielleicht schon ein weilchen her mit meiner frage zu dieser Aufgabe aber ich habe mich damit nochmal beschäftigt und bei der nummer b)kann man die nicht auch so lösen:
[mm] B=(v_{1},v_{2}) [/mm] und dann ist ja [mm] \mu\vektor{ x \\ y }=\vektor{x+y \\ y}
[/mm]
lässt sich [mm] Mat_{B}^{B} (\mu)=\vektor{x+y \\ y}=.....\lambda *\vektor{ x \\ y } +.....\lambda_{2}\vektor{ x \\ y }
[/mm]
[mm] =\vektor{x_{2}+y_{2} \\ y_{2}}=.....\lambda *\vektor{ x_{2} \\ y_{2} } +.....\lambda_{2}\vektor{ x_{2} \\ y_{2} }
[/mm]
darstellen?und dann nach [mm] \lambda [/mm] auflösen?
grüße
eva marie
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> bei der nummer b)kann man die nicht auch so
> lösen:
> [mm]B=(v_{1},v_{2})[/mm] und dann ist ja [mm]\mu\vektor{ x \\ y }=\vektor{x+y \\ y}[/mm]
>
> lässt sich [mm]Mat_{B}^{B} (\mu)=\vektor{x+y \\ y}=.....\lambda *\vektor{ x \\ y } +.....\lambda_{2}\vektor{ x \\ y }[/mm]
>
> [mm]=\vektor{x_{2}+y_{2} \\ y_{2}}=.....\lambda *\vektor{ x_{2} \\ y_{2} } +.....\lambda_{2}\vektor{ x_{2} \\ y_{2} }[/mm]
>
> darstellen?und dann nach [mm]\lambda[/mm] auflösen?
Hallo,
Vielleicht lag es an der Uhrzeit: da oben purzelt einiges durcheinander.
[mm] Mat_{B}^{B} (\mu) [/mm] muß doch 2x2 sein und nicht ein Spaltenvektor, auch scheint eine Indexverwirrung ausgebrochen zu sein - in all dem entdecke ich aber auch Verwertbares.
Wie sieht [mm] Mat_{B}^{B} (\mu) [/mm] aus?
In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren von B, und zwar in Koordinaten bzgl. B.
Du hattest [mm] B=(v_1:=\vektor{ x_{1} \\ y_{1} }, v_2:=\vektor{ x_{2} \\ y_{2} }),
[/mm]
die Standardbasis war mit A bezeichnet.
Ich werde im folgenden immer kennzeichnen, auf welche Basis sich die Koordinatenvektoren beziehen.
Wenn wir jetzt also die erste Spalte von [mm] Mat_{B}^{B} (\mu) [/mm] haben wollen, müssen wir [mm] \mu(v_1) [/mm] berechnen und dieses Ergebnis in Koordinaten bzgl B darstellen.
Tun wir's also:
[mm] \mu (v_1)= (\mu(\vektor{1 \\ 0}_B) [/mm] ) [mm] =\mu(\vektor{ x_{1} \\ y_{1} }_A) =\vektor{x_1+y_1 \\ y_1}_A [/mm] = [mm] \vektor{ ?_1 \\ ?_2 }_B =?_1*v_1 [/mm] + [mm] ?_2v_2 =?_1*\vektor{ x_{1} \\ y_{1} } [/mm] + [mm] ?_2\vektor{ x_{2} \\ y_{2} }
[/mm]
Um den gesuchten Koordinatenvektor zu finden, mußt Du also die Fragezeichen ausrechnen, indem Du das LGS
[mm] \vektor{x_1+y_1 \\ y_1}_A [/mm] = [mm] ?_1*\vektor{ x_{1} \\ y_{1} } [/mm] + [mm] ?_2\vektor{ x_{2} \\ y_{2} }
[/mm]
auflöst nach ?_1 und ?_2.
Gruß v. Angela
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