matrizen endlicher ordnung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 So 03.05.2009 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | | Zeigen sie,dass die Elemente endlicher Ordnung [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in SL(2,\IZ) [/mm] durch +-id und diejenigen mit |a+d|<2 gegeben sind.(TIP:Was folgt für die Eigenwerte einer Matrix endlicher Ordnung?)beweisen sie mit Hilfe des charakteristischen Polynoms ,dass diese endlichen Ordnungen nur 1,2,3,4,6 sein können. |
Hallo,
Also ich habe mir mal alle möglichen Matrizen für die |a+d|<2 gilt aufgeschrieben.Da komme ich auf 7 Stück aber irgendwie verstehe ich den ersten Satz in dieser Aufgabe vom sinn her nicht wirklich.Was meint man damit ,dass man zeigen soll dass die elemente durch +-id gegeben sind.wie soll man das verstehen?Ich versteh die Fragestellung schon nicht.
Danke schonmal für eure Hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 So 03.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen sie,dass die Elemente endlicher Ordnung [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \in SL(2,\IZ)[/mm]
> durch +-id und diejenigen mit |a+d|<2 gegeben
> sind.(TIP:Was folgt für die Eigenwerte einer Matrix
> endlicher Ordnung?)beweisen sie mit Hilfe des
> charakteristischen Polynoms ,dass diese endlichen Ordnungen
> nur 1,2,3,4,6 sein können.
> Hallo,
>
> Also ich habe mir mal alle möglichen Matrizen für die
> |a+d|<2 gilt aufgeschrieben.Da komme ich auf 7 Stück aber
> irgendwie verstehe ich den ersten Satz in dieser Aufgabe
> vom sinn her nicht wirklich.Was meint man damit ,dass man
> zeigen soll dass die elemente durch +-id gegeben sind.wie
> soll man das verstehen?Ich versteh die Fragestellung schon
> nicht.
Du sollst zeigen:
Eine Matrix $A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in [/mm] SL(2, [mm] \IZ)$ [/mm] hat genau dann endliche Ordnung, wenn gilt dass $A$ die Einheitsmatrix oder Minus die Einheitsmatrix ist oder das $|a + d| < 2$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Mo 04.05.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo
Also die ordnung von +id ist 1 und von -id ist 2 aber ich hab jetzt absoooolut keine ahnung was ich mit dem rest anfangen soll und wie man den tip benutzen könnte.Ich habe einfach keine Idee.:(
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Mo 04.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also die ordnung von +id ist 1 und von -id ist 2 aber ich
> hab jetzt absoooolut keine ahnung was ich mit dem rest
> anfangen soll und wie man den tip benutzen könnte.Ich habe
> einfach keine Idee.:(
Sind [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_t$ [/mm] die Eigenwerte von $A$, so sind [mm] $\lambda_1^n, \dots, \lambda_t^n$ [/mm] die Eigenwerte von [mm] $A^n$.
[/mm]
Wenn es also ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $A^n [/mm] = [mm] E_n$, [/mm] so muss fuer alle Eigenwerte [mm] $\lambda$ [/mm] von $A$ gelten [mm] $\lambda^n [/mm] = 1$.
So. Die Eigenwerte [mm] $\lambda$ [/mm] sind jetzt alle algebraische Ganzzahlen von Grad [mm] $\le [/mm] 2$, da die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von $A$ sind (hier ist $A$ eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix mit Eintraegen aus [mm] $\IZ$). [/mm] Weiterhin ist die Determinante von $A$ gleich 1, womit das Produkt der beiden Eigenwerte 1 ist. Damit kommen schonmal nicht mehr viele Zahlen zur Auswahl.
LG Felix
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