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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Do 11.05.2006 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe 1 | | Auf k Schachteln werden n kugeln verteilt. Wie groß ist die Ws, dass in jede Schachtel min. eine Kugel gelangt, und zwar unter der Maxwell-Boltzmann Statistik |
| Aufgabe 2 | | und b) der Einstein-Bose Statistik ? |
helft mir bitte, in unserem script steht einfach zuwenig dazu, und im netz finde ich auch nicht wirklich etwas, dass mir weiterhilft !
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schoen, dass du diese links postest.
koenntest du mir noch sagen, wie man die maxwell-boltzmann-verteilung, die sich auf die verteilung von gaspartikeln bezieht und deren energie, mittlere geschwindigkeit und das chemische potential des systems in betracht zieht, auf die verteilung von kugeln auf schachteln anwenden soll?
was ich sehe:
jede Besetzungszahl [mm] X_i [/mm] ist binomialverteilt im fall der maxwell-boltzmann-statistik.
es wird allerdings schwierig werden, mit modellen, die sich auf statistische thermodynamik beziehen, diese aufgabe zu loesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Do 11.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Wer lesen kann, ist klar im Vorteil:
Wenn du dir jeweils die Unterabschnitte "A Derivation of the Maxwell-Boltzmann / Bose-Einstein distribution" ansiehst, wirst du sehr wohl feststellen, dass das mit deinem Problem was zu tun hat! Also spar dir die Ironie.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Do 11.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Nach dem sich hier einer über Bezüge zur Physik mokiert hat (obwohl das bei den vier Namen Maxwell, Boltzmann, Bose, Einstein ja nun wirklich legitim ist), jetzt mal alles rein auf mathematischem Level:
(a) Maxwell-Boltzmann heißt, für jede der $n$ Kugeln wird gleichwahrscheinlich eine der $k$ Schachteln ausgewählt. Das kann man über Zuordnungstupel [mm] $(k_1,\ldots,k_n)$ [/mm] mit [mm] $k_j\in\{1,\ldots,k\}$ [/mm] beschreiben.
(b) Bei Bose-Einstein ist die Verteilung dagegen so, dass jedes der Kugelanzahltupel [mm] $(n_1,n_2,\ldots,n_k)$ [/mm] für die $k$ Schachteln (also mit [mm] $n_1+n_2+\cdots+n_k=n$) [/mm] gleichwahrscheinlich ist.
Jetzt zur Lösung des vorliegenden Problems:
(a) Maxwell-Boltzmann: Der W-Raum [mm] $\Omega$ [/mm] umfasst alle geordneten Verteilungen der $n$ Kugeln auf die $k$ Schachteln, d.h. [mm] $|\Omega|=k^n$. [/mm] Sei nun
[mm] $A_j$ [/mm] ... Ereignis, dass die $j$-te Schachtel leer ist, [mm] $j=1,\ldots,k$ [/mm] .
Dann ist [mm] $P(A_1^c\cap\ldots\cap A_k^c)=1-P(A_1\cup\ldots\cup A_k)$ [/mm] gesucht. Die Wkt dieser Vereinigung kriegt man mit der Siebformel von Poincaré und Sylvester in den Griff: Ganz offenbar ist [mm] $\left| A_{j_1}\cap\ldots\cap A_{j_m} \right| [/mm] = [mm] (k-m)^n$ [/mm] für [mm] $1\leq j_1
[mm] $$P(A_1^c\cap\ldots\cap A_k^c) [/mm] = [mm] \sum\limits_{m=0}^k [/mm] ~ [mm] (-1)^m {k\choose m} \left( 1-\frac{m}{k} \right)^n$$
[/mm]
(b) Bose-Einstein: Der W-Raum umfasst alle Anzahltupel [mm] $(n_1,n_2,\ldots,n_k)$ [/mm] mit [mm] $n_1+n_2+\cdots+n_k=n$, [/mm] das sind genau [mm] ${n+k-1\choose k-1}$ [/mm] Tupel. Prinzipiell könnte man auch hier die Siebformel anwenden, aber es geht einfacher: Die Anzahl aller $k$-Tupel [mm] $(n_1,n_2,\ldots,n_k)$ [/mm] mit [mm] $n_j\geq [/mm] 1$ entspricht über die Transformation [mm] $n_j'=n_j-1$ [/mm] der Anzahl der $k$-Tupel [mm] $(n_1',n_2',\ldots,n_k')$ [/mm] mit [mm] $n_1'+n_2'+\cdots+n_k'=n-k$. [/mm] Also ist hier einfach
[mm] $$P(A_1^c\cap\ldots\cap A_k^c) [/mm] = [mm] \frac{\displaystyle {n-1\choose k-1}}{\displaystyle {n+k-1\choose k-1}}$$ [/mm] .
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http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Boltzmann_statistics