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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:53 Fr 03.12.2010 | | Autor: | JonasMe |
| Aufgabe | | Die Funktion [mm] $f(\vec [/mm] r) = f(x, y, z) = [mm] (z/r)^2$, [/mm] mit dem Radius [mm] $|\vec r|=r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, [/mm] ist im Ursprung $x=0=y=z$ nicht eindeutig definiert, sondern hängt davon ab, aus welcher Richtung wir den Grenzwert $r [mm] \to [/mm] 0$ bilden (dies sieht man am einfachsten, falls Kugelkoordinaten benutzt werden, [mm] $f(\vec r)=cos^2(\vartheta)$ [/mm] --- die $z$-Achse und dem Vektor [mm] $\vec [/mm] r$ schliesen den Winkel [mm] $\vartheta$ [/mm] ein, dieser ist für $r [mm] \to [/mm] 0$ jedoch nicht wohl definiert). Die Frage ist, was ist $f(0)$? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das gestellte Problem ist ein physikalisches, alle Parameter sind deshalb reell. Da $f(0)$ in de Gleichungen auftaucht und die Natur keine Zweideutigkeit zulässt, muss es eine eindeutige Lösung geben. Ich vermute (!), dass über alle Richtungen gemittelt werden muss, habe dafür aber keine mathematische Erklärung. Deshalb wäre es schöner, die Funktion in die komplexe Ebene zu erweiteren und dort mit Hilfe der Funktionen Theorie (holomorphe Funktion etc) die Mehrdeutigkeit zu beheben. Wie dies geht wisst Ihr vielleicht.
Vielen Dank für Eure Hilfe. Gruß
Jonas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Sa 11.12.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo JonasMe!
> Die Funktion [mm]f(\vec r) = f(x, y, z) = (z/r)^2[/mm], mit dem
> Radius [mm]|\vec r|=r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}[/mm], ist im Ursprung
> [mm]x=0=y=z[/mm] nicht eindeutig definiert, sondern hängt davon ab,
> aus welcher Richtung wir den Grenzwert [mm]r \to 0[/mm] bilden (dies
> sieht man am einfachsten, falls Kugelkoordinaten benutzt
> werden, [mm]f(\vec r)=cos^2(\vartheta)[/mm] --- die [mm]z[/mm]-Achse und dem
> Vektor [mm]\vec r[/mm] schliesen den Winkel [mm]\vartheta[/mm] ein, dieser
> ist für [mm]r \to 0[/mm] jedoch nicht wohl definiert). Die Frage
> ist, was ist [mm]f(0)[/mm]?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Das gestellte Problem ist ein physikalisches, alle
> Parameter sind deshalb reell.
Um welches physikalische Problem handelt es sich?
> Da [mm]f(0)[/mm] in de Gleichungen
> auftaucht und die Natur keine Zweideutigkeit zulässt, muss
> es eine eindeutige Lösung geben.
Meinst Du damit, dass [mm] $\vec{r} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] einen Ort darstellt, an dem eine geeignete Messung einen vernünftigen Wert liefert?
> Ich vermute (!), dass
> über alle Richtungen gemittelt werden muss, habe dafür
> aber keine mathematische Erklärung. Deshalb wäre es
> schöner, die Funktion in die komplexe Ebene zu erweiteren
> und dort mit Hilfe der Funktionen Theorie (holomorphe
> Funktion etc) die Mehrdeutigkeit zu beheben. Wie dies geht
> wisst Ihr vielleicht.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe. Gruß
> Jonas
Gäbe es eine stetige Fortsetzung von $f$ in [mm] $\vec{0}$, [/mm] so würde wohl der Wert dieser Fortsetzung an der Stelle [mm] $\vec{0}$ [/mm] dem gesuchten Wert entsprechen. Du suchst aber eine unstetige Funktion. Ich vermute, dass bei einer Präzisierung der Fragestellung dein Problem verschwindet.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 03.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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