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Hallo zusammen,
vielleicht kann mir jemand weiterhelfen!
Ich konnte bereits folgendes zeigen:
Sei [mm]F:\IR^n\rightarrow\IR^m[/mm] ein- bzw. zweimal differenzierbar und [mm]f(x):=\bruch{1}{2}\|F(x)\|_2^2=\bruch{1}{2}F(x)^TF(x)[/mm]. Dann ist auch f ein- bzw. zweimal differenzierbar und es gilt:
[mm]\nabla f(x)=F'(x)^TF(x)[/mm] (Gradient) sowie
[mm]\nabla^2f(x)=F'(x)^TF'(x)+\sum_{i=1}^mF_i(x)\nabla^2F_i(x)[/mm] (Hesse-Matrix)
Nun soll gezeigt werden:
Seien [mm]F'[/mm] bzw. [mm]F', F''[/mm] auf der zu [mm]x^0[/mm] gehörenden Niveaumenge
[mm]W_0=W(x^0)=\{x\in\IR^n:f(x)\le f(x^0)\}[/mm] Lipschitz-stetig mit Konstanten [mm]L_1[/mm] bzw. [mm]L_2[/mm]. Unter welchen Voraussetzungen sind dann auch [mm]\nabla f[/mm] und [mm]\nabla^2f[/mm] auf [mm]W_0[/mm] Lipschitz-stetig und wie sehen die zug. Lipschitz-Konstanten aus?
Ich dachte mir, eine "Null" einzubauen und dann abzuschätzen mit der Dreiecksungleichung, aber komm irgendwie nicht voran. Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank im Voraus... 28
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Hallo 28,
[mm]|\nabla f(x)-\nabla f(y)|=|F'(x)^TF(x)-F'(y)^TF(y)| [/mm]
[mm]|F'(x)^TF(x)-F'(y)^TF(y)|=|F'(x)^TF(x)-F'(y)^TF(y)+F'(y)^TF(x)-F'(y)^TF(x)|\le|F'(x)^TF(x)-F'(y)^TF(x)|+|F'(y)^TF(x)-F'(y)^TF(y)|[/mm]
[mm]|F'(x)^TF(x)-F'(y)^TF(x)|+|F'(y)^TF(x)-F'(y)^TF(y)|\le||F(x)||*||F'(x)-F'(y)||+||F'(y)||*||F(x)-F(y)||[/mm]
Sind F und F' auf dieser Menge beschränkt kannst Du weiter abschätzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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