mehrdimensionale Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
So, das ist die letzte für heute Abend...
Ich habe [mm] \Omega [/mm] = (0,1) x (0,1) (wobei das x für "kreuz" steht) und [mm] g(x,y)=(x-y^2,x^2y)^T
[/mm]
Nun soll ich eine Skizze von [mm] g(\Omega) [/mm] angeben.
Frage: Wie mache ich das?
Ich habe mir schon ein Paar Punkte berechnet, aber beim Zeichnen hatte ich dann das Problem: wieviel dimensional muss denn mein Koordinatensystem sein? Ich habe schon versucht, das y beispielsweise mal erstmal fest zu wählen, und dann mehrere x-Werte einzusetzen. Aber da bekomme ich ja dann auch für ein x ein Tupel von Zahlen raus - wie zeichne ich das denn ein?
Und was soll denn eigentlich das ^T da? Das heißt doch eigentlich, dass ich den Vektor transponiere. Aber brauche ich das zum Zeichnen? Eine Vektor transponiert zeichnen?
Naja, vielleicht kennt sich ja jemand damit aus...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Sa 20.11.2004 | | Autor: | jmk |
So wie du deine Funktion definiert hast, gilt
g: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}
[/mm]
und damit bräuchtest du 2 Dimensionen für deine Definitions/Ursprungs-Werte und weitere 2 Dimensionen für deine Bildwerte, also insgesamt 4 Dimensionen womit du dies nicht sinnvoll zeichnen kannst.
Ich hab noch nie eine solche Funktion gezeichnet gesehen und bin der Ansicht das dies nicht möglich ist.
Was möglich ist, ist Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR^{3} [/mm] zu zeichnen (meist eine Ortskurve mit t-Abhängigkeit, bei der man dann gar nicht wissen will wann die Funktion an einem bestimmten Punkt war) bzw. Funktionen von [mm] \IR^{2} [/mm] nach [mm] \IR
[/mm]
Vielleicht findet sich ja jemand der mir das Gegenteil beweist.
Das T ist nur Notation und deutet an, dass es sich um einen Vektor handelt die gewöhnlicherweise spaltenweise geschrieben werden, was oft aus Platzgründen nicht gemacht wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christiane
ich würde ja liebend gerne helfen, aber ich weiss gar nicht, was dein [mm] $\Omega$ [/mm] ist. Ist das das Quadrat $0 < x,y <1_$ ?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paul!
> ich würde ja liebend gerne helfen, aber ich weiss gar
> nicht, was dein [mm]\Omega[/mm] ist. Ist das das Quadrat [mm]0 < x,y <1_[/mm]
> ?
Sorry, habe gar nicht gesehen, dass das so missraten war. Werde gleich mal versuchen, es zu ändern.
Also [mm] \Omega [/mm] soll sein (0,1) "kreuz" (0,1), also ich verstehe darunter alle Zahlen zwischen 0 und 1 (exklusive - ist doch ein offenes Intervall, oder) auf der einen Achsen und ebenso auf der anderen Achse.
Kann ich jetzt mit einer Antwort von dir rechnen? 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christiane
ja, aber jetzt esse ich zuerst. Bitte also um etwas Geduld!
Mit lieben Grüssen
Paul
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Ahoi,
(x,y)->g ist eine vektorwertige Funktion. Nennt man auch ein Vektorfeld.
Also für hinlänglich viele x und y an den Punkt (x,y) einen niedlichen kleinen
Vektor anzeichnen, der das zugehörige g repräsentiert. Ergibt so eine
Art Strömungsbild.
Das T ist Pedanterie von Leuten, die meinen, nur der Spaltenvektor sei
the real thing, der Zeilenvektor dagegen nur eine Hilfsgröße.
Gruß - PP
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:28 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> (x,y)->g ist eine vektorwertige Funktion. Nennt man auch
> ein Vektorfeld.
Ja, genau. Da hatte ich irgendwie dran gedacht. Also zeichne ich "einfach nur" ein Vektorfeld!?
> Also für hinlänglich viele x und y an den Punkt (x,y)
> einen niedlichen kleinen
> Vektor anzeichnen, der das zugehörige g repräsentiert.
> Ergibt so eine
> Art Strömungsbild.
Musste zuerst mal nachdenken, was das denn jetzt bedeuten soll, bin aber jetzt zu folgendem Schluss gekommen:
Ich zeichne zuerst einen Punkt (x,y), und von diesem Punkt ausgehend dann das, was g damit macht, also g(x,y). Richtig so?
Nur, was ist eine sinnvolle Auswahl der x und y? Jeweils in 0,1-Schritten von 0,1 bis 0,9?
Vielen Dank für die Hilfe und viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
>
> Das T ist Pedanterie von Leuten, die meinen, nur der
> Spaltenvektor sei
> the real thing, der Zeilenvektor dagegen nur eine
> Hilfsgröße.
>
> Gruß - PP
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christiane
Paula hat dir ja bereits eine Möglichkeit aufgezeigt.
Ich denke, wenn das Thema Vektorfelder sind (Satz von Stokes, z.B.), dann ist das eine gute Lösung. Je nach Aufgabenstellung sollte man dann aber nicht einfach kleine Pfeilchen zeichnen, sondern den Vektor in seiner vollen Länge.
Es gibt aber noch eine andere Art, das zu zeichnen. Du erinnerst dich sicher noch an die Komplexe Zahlenebenen, wo man das ganz ähnlich macht.
Du kannst nämlich die Funktionswerte selber in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem einzeichen. Dazu brauchst du dann halt ein zweites Koordinatensystem, vielleich bezeichnest du die Achsen mit u und v.
Dann gilt:
[mm] $u=x-y^2$
[/mm]
$v=x^2y$
Die Frage ist nur, wie zeichnet man jetzt die Funktionswerte ein?
Wenn man das, wie du es bereits versucht hast, so macht dass man z.B. das y festhält und mit x von 0 nach 1 marschiert, was macht dann die entsprechende Marschroute in der u-v-Ebene?
Um das herauszufinden, machst du am besten folgendes: betrachte obige beiden Gleichungen als Gleichungssystem und eliminiere einmal x, das andere mal y.
Dann erhältst du die beiden Gleichungen:
(I) $v = [mm] yu^2+2y^3u+y^5$
[/mm]
(II) $u = [mm] -\bruch{v^2}{x^4}+x$
[/mm]
So, jetzt wandern wir mal:
in der x-y-Ebene schlendern wir auf der x-Achse von (0,0) nach (1,0)
Hier ist also y=0 und x variiert. Deshalb nehmen wir Gleichung (I) und setzen dort y=0 ein. Das führt zu $v=0_$. das ist die Gleichung der u-Achse.
Hier kann man also einfach bei Gleichung (II) v=0 setzten und beobachten, was passiert, wenn ich x von 0 nach 1 laufen lasse. Die Gleichung lautet dann ja: $u=x_$. Der Bildpunkt wandert also ganz genau gleich, synchron, von (u,v)=(0,0) bis (1,0).
Jetz setzen wir die Wanderung fort, indem wir von (x,y) = (1,0) nach (1,1) parallel zur y-Achse wandern. Was macht dann der Bildpunkt?
Weil jetzt x konstant ist, setze ich seinen Wert einfach in (II) ein:
[mm] $u=1-v^2$ [/mm] (eine liegende Parabel)
Mit variierendem y wandert der Bildpunkt in der u-v-Ebene von (1,0) auf dieser liegenden Parabel hinauf zum Punkt (u,v)=(0,1) (g(1,1)=(0,1)).
Jetzt schlagen wir die Marschroute von (x,y)=(1,1) nach (x,y)=(0,1) ein, parallel zur x-Achse. Jetzt wieder das gleiche Spiel: y=1 in Gleichung (I) einsetzten:
[mm] $v=u^2+2u+1$
[/mm]
Eine Parabel. Das x von 1 nach 0 variierend, laufe ich auf der Parabel hinunter nach (u,v)=(-1,0).
Das letzte Wegstück, um [mm] $\Omega$ [/mm] ganz zu umschreiten, führt in der u-v-Ebene auf der u-Achse wieder zurück nach (u,v)=(0,0).
Jetzt siehst du das Gebiet, wohin [mm] $\Omega$ [/mm] abgebildet wird. Du siehst daran auch schon, dass die Abbildung nicht konform ist. Der rechte Winkel, den die x- und y-Achse im Koordinatenursprung bildet, wird in der u-v-Ebene zu einen 180°-Winkel.
Jetzt würde ich einfach das Gitter [mm] $x=\bruch{1}{4}$, $x=\bruch{1}{2}$, $x=\bruch{3}{4}$, $y=\bruch{1}{4}$, $y=\bruch{1}{2}$, $y=\bruch{3}{4}$ [/mm] mittels der Funktion g behandeln.
Das geht jetzt relativ einfach, weil die Bildkurven ja einfach die Parabelabschnitte sind, die innerhalb der Umrandung liegen, welche wir gemeinsam gezeichnet haben.
Als Beispiel: [mm] $y=\bruch{3}{4}$
[/mm]
Hier nehmen wir Gleichung (I):
[mm] $v=\bruch{3}{4}u^2+\bruch{27}{32}u+\bruch{243}{1024}$
[/mm]
Der Parabelausschnitt beginnt bei [mm] $(u,v)=(-\bruch{1}{16},0)$ [/mm] und endet bei [mm] $(u,v)=(\bruch{15}{16},\bruch{1}{4})$
[/mm]
Ich habe leider privat keinen Scanner, sonst könnte ich ja ein Bild einscannen.
Kannst du das Gitter noch vorvollständigen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christiane
hier noch ein Bild, das aber nur behelfsmässige Dienste leisten kann.
Die roten Parabeln müssten links vom Scheitel jeweils abgeschnitten werden! Zudem sollten alle Parabeln nur im blauen Bereich sichtbar sein, ausserhalb ist Tippex zu verwenden. Ich habe da gemacht, aber jetzt verdeckt mir das Tippex auf meinem Bildschirm die Sicht auf den übrigen Text! Mist!
Vielleicht hilft es aber doch ein wenig
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit lieben Grüssen
Paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paul!
Also erstmal vieeeelen Dank für deine sehr ausführliche Antwort! Natürlich konnte ich warten, bis du fertig gegessen hast! 
Und dein Bild hilft auch ganz schön! Danke!
> Ich denke, wenn das Thema Vektorfelder sind (Satz von
> Stokes, z.B.), dann ist das eine gute Lösung. Je nach
> Aufgabenstellung sollte man dann aber nicht einfach kleine
> Pfeilchen zeichnen, sondern den Vektor in seiner vollen
> Länge.
Naja, das ist eigentlich nicht das Thema, sondern wir sind gerade beim Transformationssatz und sollen nachher über diese Funktion ein Integral berechnen. Woher weiß ich denn jetzt, ob ich so zeichnen soll, wie Paula, oder so wie du? Ich glaube, wenn ich es so mache, wie du gesagt hast, dann sehe ich ja auch eine Fläche, und beim Transformationssatz will ich doch eigentlich auch immer eine Fläche berechnen, oder?
> Du kannst nämlich die Funktionswerte selber in einem
> 2-dimensionalen Koordinatensystem einzeichen. Dazu brauchst
> du dann halt ein zweites Koordinatensystem, vielleich
> bezeichnest du die Achsen mit u und v.
Das heißt doch, dass ich jetzt nur das Bild zeichne, und nicht mehr die Urbildmenge, ja? Also ich weiß dann nicht mehr, was wem zugeordnet wird, sondern sehe eben nur den Bildbereich!?
Also deine ganze schöne lange Erklärung habe ich hier jetzt mal nicht mehr stehen gelassen, sonst würde der Artikel bestimmt zu lang und unübersichtlich. Und schließlich weiß ich ja jetzt, wie es geht!
Aber ich habe noch eine Frage zu dem Ende: Wenn ich doch jetzt erst bei (0,1) bin, muss ich doch wieder zu (0,0) zurück. Aber wenn ich das genauso mache, dann hätte ich ja x=0 und dann würde ich bei u durch 0 teilen. Das geht also nicht. Aber ich kann doch nicht einfach behaupten, dass die Bildpunkte dann wie am Anfang auf der u-Achse wandern? Oder doch?
> Das letzte Wegstück, um [mm]\Omega[/mm] ganz zu umschreiten, führt
> in der u-v-Ebene auf der u-Achse wieder zurück nach
> (u,v)=(0,0).
Ach ja, und noch was: Könnte ich theoretisch bei jedem beliebigen Punkt anfangen oder muss ich zuerst von (0,0) nach (1,0) wandern? Und wenn ich stattdessen nach (0,1) wandern würde hätte ich wieder das Problem mit der Null im Nenner...
> Jetzt siehst du das Gebiet, wohin [mm]\Omega[/mm] abgebildet wird.
> Du siehst daran auch schon, dass die Abbildung nicht
> konform ist. Der rechte Winkel, den die x- und y-Achse im
> Koordinatenursprung bildet, wird in der u-v-Ebene zu einen
> 180°-Winkel.
Woher weiß ich denn, dass das wirklich die Grenzen des Gebietes sind? Also, ich kann mir das ja schon vorstellen, weil ich ja auch die Grenzen der Urbildmenge genommen habe. Aber muss da nicht irgendwas für die Funktion gelten, damit das auch so ist? Vielleicht Monotonie oder so?
Ach ja, und was bedeutet konform? Nach deinen Erläuterungen könnte es heißen, dass die Form der Menge nicht erhalten wird, oder die Winkel oder so was?
> Jetzt würde ich einfach das Gitter [mm]x=\bruch{1}{4}[/mm],
> [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm], [mm]x=\bruch{3}{4}[/mm], [mm]y=\bruch{1}{4}[/mm],
> [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm], [mm]y=\bruch{3}{4}[/mm] mittels der Funktion g
> behandeln.
>
> Das geht jetzt relativ einfach, weil die Bildkurven ja
> einfach die Parabelabschnitte sind, die innerhalb der
> Umrandung liegen, welche wir gemeinsam gezeichnet haben.
>
> Als Beispiel: [mm]y=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Hier nehmen wir Gleichung (I):
>
> [mm]v=\bruch{3}{4}u^2+\bruch{27}{32}u+\bruch{243}{1024}[/mm]
>
> Der Parabelausschnitt beginnt bei [mm](u,v)=(-\bruch{1}{16},0)[/mm]
> und endet bei [mm](u,v)=(\bruch{15}{16},\bruch{1}{4})[/mm]
Wie kommst du darauf, wo der Ausschnitt beginnt und wo er endet? Ich habe mir gedacht, dass die Ausschnitte doch alle im "großen" Ausschnitt liegen müssen, also würden sie bei den Schnittpunkten mit diesen Funktionen beginnen und aufhören. Aber entweder habe ich mich verrechnet oder es ist anders.
> Ich habe leider privat keinen Scanner, sonst könnte ich ja
> ein Bild einscannen.
Na, du hast ja doch noch ein Bild geschickt - echt super. Hatte das Bild gesehen, bevor ich mich intensiv hiermit beschäftigt habe, und da ich das Bild ein bisschen im Kopf hatte, habe ich das dann alles besser verstanden.
Aber doch noch eine Frage:
Dass die Parabeln außerhalb der blauen Fläche abgeschnitten werden müssen, ist klar, aber sagtest du nicht auch etwas davon, dass die roten nach dem Tiefpunkt abgeschnitten werden müssen oder so? Warum denn das?
> Kannst du das Gitter noch vorvollständigen?
Na, das hast du ja jetzt schon für mich getan. Aber wenn ich es abgebe, werde ich es natürlich noch einmal selber zeichnen, oder von meinem Computer zeichnen lassen.
Viele Grüße und danke nochmal für die tolle Antwort!
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 21.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christiane
jetz musstest du aber lange auf eine Reaktion warten!
Na ja, ich bin eben verheiratet, mit Familie. Und wie Paula schon bemerkte, fordern andere halt auch mal eine L..leistung!
Ich muss aber ehrlich gestehen, ich kann nicht alle deine Fragen aufs Gründlichste beantworten, das würde ja fast ein Buch füllen! Dazu müsste in deinem Skript ja einiges stehen. Aber einige Bemerkungen, die vielleicht dem Verständnis förderlich sind, will ich doch geben.
> Hallo Paul!
> Also erstmal vieeeelen Dank für deine sehr ausführliche
> Antwort! Natürlich konnte ich warten, bis du fertig
> gegessen hast!
> Und dein Bild hilft auch ganz schön! Danke!
>
Bitte sehr!
> Naja, das ist eigentlich nicht das Thema, sondern wir sind
> gerade beim Transformationssatz und sollen nachher über
> diese Funktion ein Integral berechnen. Woher weiß ich denn
> jetzt, ob ich so zeichnen soll, wie Paula, oder so wie du?
Ja, dann ist meine Art die Richtige. Zeichnungen sind ja immer nur Veranschaulichungen, die dem Vrständnis dienen. Und jenachdem, ist halt die eine oder andere Form geeigneter.
> Ich glaube, wenn ich es so mache, wie du gesagt hast, dann
> sehe ich ja auch eine Fläche, und beim Transformationssatz
> will ich doch eigentlich auch immer eine Fläche berechnen,
> oder?
>
Nicht unbeding eine Fläche berechnen, sondern allgemeiner über einem Gebiet, in diesem Falle die eingefärbte Fläche meiner Zeichnung, eine gegebene Funktion integrieren. Wenn die Funktion f(u,v)=1 ist, dann erhältst du als Resultat tatsächlich dei Fläche des Gebietes. (Oder auch ein Volumen, wenn du noch eine Dimension höher gehst, allgemeiner vielleicht einfach das (Jordan-)Mass des Gebietes).
> Das heißt doch, dass ich jetzt nur das Bild zeichne, und
> nicht mehr die Urbildmenge, ja? Also ich weiß dann nicht
> mehr, was wem zugeordnet wird, sondern sehe eben nur den
> Bildbereich!?
Ja, das ist so. Nur ist das für den Zweck, für den wir das Anwenden, nicht mehr relevant. Denn wir wollen ja lediglich über der farbigen Fläche ein Integral berechnen. Wichtig sind deshalb nur die Integrationsgrenzen, und die sind ja durch den Rand des Gebietes gegeben. Die nötigen Korrekturfaktoren kommen dann aus der Funktionaldeterminante. Dazu aber etwas weiter unten...
> bestimmt zu lang und unübersichtlich. Und schließlich weiß
> ich ja jetzt, wie es geht!
>
*freu*
> Aber ich habe noch eine Frage zu dem Ende: Wenn ich doch
> jetzt erst bei (0,1) bin, muss ich doch wieder zu (0,0)
> zurück. Aber wenn ich das genauso mache, dann hätte ich ja
> x=0 und dann würde ich bei u durch 0 teilen. Das geht also
> nicht. Aber ich kann doch nicht einfach behaupten, dass die
> Bildpunkte dann wie am Anfang auf der u-Achse wandern? Oder
> doch?
Ja, aber der Funktionswert von (0,0) ist tatsächlich (0,0). Und ein kleines Bisschen rechts von (0,0) ist die Welt ja bereits in Ordnung! Vielleicht ist das sogar der Grund, warum der Professor den Bereich erst mal als offene Menge definiert hat. Es ginge tatsächlich auch mit der geschlossenen Menge, zusätzliche Schwierigkeiten wären dann noch zu überwinden gewesen. Stichwort: Nullmenge. Wie oben gesagt, das steht vielleicht dann auch im Skript. Wir wollen heute ja noch zu einem Ende kommen. ;)
>
> Ach ja, und noch was: Könnte ich theoretisch bei jedem
> beliebigen Punkt anfangen oder muss ich zuerst von (0,0)
> nach (1,0) wandern? Und wenn ich stattdessen nach (0,1)
> wandern würde hätte ich wieder das Problem mit der Null im
> Nenner...
>
Ja klar, du musst einfach das Gebiet umwandern. Wo der Start und wo das Ziel ist, ist nicht so wichtig. Du solltest aber dann einfach sehen, dass in der u-v-Evene dem Wegstück von (0,0) nach (1,0) in der x-y-Ebene die eine Seite des Quadrates entspricht. Die gegenüberliegende Seite (also (x,y) von (0,1) nach (1,1), oder umgekehrt) ist dann das Parabelstück in der u-v-Ebene, das von (-1,0) nach (0,1) verläuft.
> Woher weiß ich denn, dass das wirklich die Grenzen des
> Gebietes sind? Also, ich kann mir das ja schon vorstellen,
> weil ich ja auch die Grenzen der Urbildmenge genommen habe.
> Aber muss da nicht irgendwas für die Funktion gelten, damit
> das auch so ist? Vielleicht Monotonie oder so?
Oh ja, das muss schon so sein. Aber wohl nicht Monotonie, sondern Stetigkeit. Die einzelnen Koordinatenfunktionen müssen stetig sein.
Jetz hast du die Grenze durchlaufen. Es könnte aber schon sein, dass das Gebiet, so bildlich gesprochen, von innen nach aussen gestülpt wird! Deshalb muss man einfach einen Probepunkt berechnen, der im innern des Quadrates liegt und berechnen, wohin der abgebildet wird. Nimm also zum Beispiel (x,y) = (1/2,1/2). Sein Bild liegt dann im Innern des Bildgebietes.
>
> Ach ja, und was bedeutet konform? Nach deinen Erläuterungen
> könnte es heißen, dass die Form der Menge nicht erhalten
> wird, oder die Winkel oder so was?
>
Ja genau. Konform heisst winkeltreu. Wenn man in der x-y-Ebene zwei Linien zeichnet, die sich unter einem bestimmten Winkel schneiden, dann den Schnittwinkel der Bildlinien untersucht, kommt man drauf. Ist der Winkel gleich, dann ist die Abbildung konform, jedenfalls an der Stelle, wo sich die Linien schneiden, sonst nicht.
> >
> > Der Parabelausschnitt beginnt bei
> [mm](u,v)=(-\bruch{1}{16},0)[/mm]
> > und endet bei [mm](u,v)=(\bruch{15}{16},\bruch{1}{4})[/mm]
> Wie kommst du darauf, wo der Ausschnitt beginnt und wo er
> endet? Ich habe mir gedacht, dass die Ausschnitte doch alle
Berechne einfach die Funktionswerte der beiden Endpunkte in der x-y-Ebene, dann hast du die Endpunkte der Bilder. Hier siehst du auch, warum man sich auch überlegen soll, welche Quatratseite des Urbildes welcher Linie im Bild entspricht. Dann hat man es hier ein Wenig einfacher.
> im "großen" Ausschnitt liegen müssen, also würden sie bei
> den Schnittpunkten mit diesen Funktionen beginnen und
> aufhören. Aber entweder habe ich mich verrechnet oder es
> ist anders.
>
Nein das ist schon so. Habe ich mich etwas verrechnet? Liegen die Punkte nicht auf den Bildkurven? Ich benutze eben keinen Rechner, sondern immer mein eigenes Gehirn, als Training. Da kann schon mal was schiefgehen. Nach meiner Skitte sehen die Werte aber doch plausibel aus. Rechne das doch auch nochmals nach!
[mm] $g(0,\bruch{1}{4})=(-\bruch{1}{16},0)$
[/mm]
$g(1, [mm] \bruch{1}{4})=(\bruch{15}{16},\bruch{1}{4})$
[/mm]
> > ein Bild einscannen.
> Na, du hast ja doch noch ein Bild geschickt - echt super.
> Hatte das Bild gesehen, bevor ich mich intensiv hiermit
> beschäftigt habe, und da ich das Bild ein bisschen im Kopf
> hatte, habe ich das dann alles besser verstanden.
> Aber doch noch eine Frage:
> Dass die Parabeln außerhalb der blauen Fläche abgeschnitten
> werden müssen, ist klar, aber sagtest du nicht auch etwas
> davon, dass die roten nach dem Tiefpunkt abgeschnitten
> werden müssen oder so? Warum denn das?
Na ja, dort treffen die Parabeln ja auch die Grenze des Gebietes, und dann ist Schluss!
Die Funktion g ist eben nicht eineindeutig. Es gibt noch andere Punke der x-y-Ebene, die den jetzt ausradierten Punkt (Tippex) als Bild haben. (Das Tippex auf meinem Bidschirm ist immer noch störend! Aber für dich macht man solche kleinen Opfer ja gerne!
Mach dazu vieeleicht folgendes Experiment. Wandere (mit mir?) auf Höhe y=1/4 von rechts nach links, beginnend bei (1, 1/4). Bei (0,1/4) stoppen wir aber nicht, sondern überscheriten mutig die Grenze! Vielleicht um [mm] $\epsilon$.
[/mm]
Das Bild ist dann [mm] $(\bruch{1}{16}-\epsilon,\bruch{1}{4}\epsilon^{2})$
[/mm]
Wenn wir die Grenze nicht allzuweit überschreiten, dann ist der Bildpunkt im blauen Bereich! Dieser Bildpunkt wird aber auch von einem Urbildpunkt angenommen, der etwa bei [mm] $(x,y)=\bruch{1}{10},\bruch{9}{10})$ [/mm] liegt! (geschätzt)
>
> > Kannst du das Gitter noch vorvollständigen?
> Na, das hast du ja jetzt schon für mich getan. Aber wenn
> ich es abgebe, werde ich es natürlich noch einmal selber
> zeichnen, oder von meinem Computer zeichnen lassen.
>
Ja, und jetzt, da du dich doch so intensiv damit beschäftigt hast, noch was: du stellst sicher fest, dass das Bild eines kleinen Quadrates erstens selber nicht mehr ein Quadrätchen ist und zweitens der Flächeninhalt des "Bildquadrätchens" sich verändert hat. Der Aenderungsfaktor wird gerade durch die Funktionaldeterminate angegeben. Das ist der Korrekturfaktor, der beim Integrieren noch als Faktor hinzugegeben werden muss.
Die Funktionalmatrix ist ja:
[mm] $\begin{pmatrix}1&-2y\\2xy&x^{2}\end{pmatrix}$
[/mm]
Das ist nichts weiteres als die Matrix einer linearen Annäherung von g.
Willst du eine lineare Annäherung von g zum Beispiel im Punkt [mm] $(\bruch{1}{2},\bruch{1}{4})$, [/mm] dann setzt du die Werte davon einfach in obiger Matrix ein (Funktionalmatrix oder auch Jacobi-Matrix).
Die Determinante davon ist [mm] $x^{2}+4xy^{2}$.
[/mm]
Bei [mm] $(\bruch{1}{2},\bruch{1}{4})$ [/mm] ist ihr Wert also [mm] $\bruch{3}{8}$
[/mm]
Bei dieser Stelle hat also ein das Bild des infinitesimales Quadrätchen dxdy einen Flächeninhalt von [mm] $\bruch{3}{8}*dx*dy$.
[/mm]
Unter anderm bei der Stelle (x,y)=(0,0) hat die Funktoinaldeterminante den Wert Null. Daher rühren genau auch die Probleme, die du bei dieser Stelle hattest (durch 0 dividieren)
Die anderen Nullstellen liegen auf der Geraden $x=0_$ und auf der Parabel [mm] $x=-4y^2$
[/mm]
So, liebe Christiane, ich hoffe, etwas Licht ins Dunkel gebracht zu haben.
Sonst meldest du dich einfach wieder!
Ach ja, für Paula: es ist eben oft so, dass zu den Fragen der Zusammenhang nicht mitgepostet wird. Dann müsste man eben nochmals genauer nachfragen. Ich hätte das gestern getan, du warst mit deiner Antwort aber so schnell!...
Ich bin auch überzeugt, dass der Professor sicherlich schon in der Vorlesung die Nötigen Voraussetzungen geliefert hat. Vor dem Einfordern ist das schon zu überprüfen!
mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Do 25.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paul!
Jetzt musstest du aber auch lange auf eine Reaktion von mir warten... Das lag daran, dass ich die Fragen hier nicht wieder auf den letzten Drücker stellen wollte, und dann musste ich aber vorher noch andere Aufgaben machen, so dass ich jetzt erst nochmal zur genaueren Bearbeitung komme. Gelesen hatte ich die Antwort längst!
> Ich muss aber ehrlich gestehen, ich kann nicht alle deine
> Fragen aufs Gründlichste beantworten, das würde ja fast ein
> Buch füllen! Dazu müsste in deinem Skript ja einiges
> stehen. Aber einige Bemerkungen, die vielleicht dem
> Verständnis förderlich sind, will ich doch geben.
Sorry, das war wirklich etwas viel, was ich wissen wollte. Wahrscheinlich ist für diese Aufgabe auch gar nicht alles nötig, aber wenn ich schon mal die Chance habe, etwas zu fragen, kann ich es ja auch tun! Jedenfalls habe ich nichts vermisst, was du noch hättest beantworten sollen! Danke.
> > Aber ich habe noch eine Frage zu dem Ende: Wenn ich doch
>
> > jetzt erst bei (0,1) bin, muss ich doch wieder zu (0,0)
>
> > zurück. Aber wenn ich das genauso mache, dann hätte ich
> ja
> > x=0 und dann würde ich bei u durch 0 teilen. Das geht
> also
> > nicht. Aber ich kann doch nicht einfach behaupten, dass
> die
> > Bildpunkte dann wie am Anfang auf der u-Achse wandern?
> Oder
> > doch?
>
> Ja, aber der Funktionswert von (0,0) ist tatsächlich (0,0).
> Und ein kleines Bisschen rechts von (0,0) ist die Welt ja
> bereits in Ordnung! Vielleicht ist das sogar der Grund,
> warum der Professor den Bereich erst mal als offene Menge
> definiert hat. Es ginge tatsächlich auch mit der
> geschlossenen Menge, zusätzliche Schwierigkeiten wären dann
> noch zu überwinden gewesen. Stichwort: Nullmenge. Wie oben
> gesagt, das steht vielleicht dann auch im Skript. Wir
> wollen heute ja noch zu einem Ende kommen. ;)
Ach ja, nochmal zu dem Ende. Kann ich da jetzt hinschreiben, dass der Funktionswert von (0,0)=(0,0) ist und von (0,1)=(-1,0), und somit das y=0 bleibt, also v=0 ist. Das wäre doch eine halbe Begründung dafür, dass v=0 ist, oder?
> > > Der Parabelausschnitt beginnt bei
> > [mm](u,v)=(-\bruch{1}{16},0)[/mm]
> > > und endet bei [mm](u,v)=(\bruch{15}{16},\bruch{1}{4})[/mm]
> > Wie kommst du darauf, wo der Ausschnitt beginnt und wo
> er
> > endet? Ich habe mir gedacht, dass die Ausschnitte doch
> alle
>
> Berechne einfach die Funktionswerte der beiden Endpunkte in
> der x-y-Ebene, dann hast du die Endpunkte der Bilder. Hier
> siehst du auch, warum man sich auch überlegen soll, welche
> Quatratseite des Urbildes welcher Linie im Bild entspricht.
> Dann hat man es hier ein Wenig einfacher.
Also, das habe ich leider immer noch nicht verstanden. Wenn ich [mm] y=\bruch{3}{4} [/mm] habe, dann folgt daraus [mm] v=\bruch{3}{4}u^2+\bruch{27}{32}u+\bruch{243}{1024} [/mm] (hier hast du beim Zeichnen übrigens 241 statt 243 eingegeben...). Und wenn mein y gleichbleibt, dann kann das x ja wandern. Und von wo bis wo kann es wandern? Auch wieder von 0 bis 1? Mir fehlen hier also quasi "die Funktionswerte der beiden Endpunkte in der x-y-Ebene"
> > im "großen" Ausschnitt liegen müssen, also würden sie bei
>
> > den Schnittpunkten mit diesen Funktionen beginnen und
> > aufhören. Aber entweder habe ich mich verrechnet oder es
>
> > ist anders.
> >
>
> Nein das ist schon so. Habe ich mich etwas verrechnet?
> Liegen die Punkte nicht auf den Bildkurven? Ich benutze
> eben keinen Rechner, sondern immer mein eigenes Gehirn, als
> Training. Da kann schon mal was schiefgehen. Nach meiner
> Skitte sehen die Werte aber doch plausibel aus. Rechne das
> doch auch nochmals nach!
>
> [mm]g(0,\bruch{1}{4})=(-\bruch{1}{16},0)[/mm]
> [mm]g(1, \bruch{1}{4})=(\bruch{15}{16},\bruch{1}{4})[/mm]
Also, die Rechnung hier stimmt schon! Ich frage mich nur, warum du gerade [mm] g(0,\bruch{1}{4}) [/mm] und [mm] g(1,\bruch{1}{4}) [/mm] berechnest. Wir waren doch noch bei [mm] y=\bruch{3}{4}, [/mm] oder?
> > Aber doch noch eine Frage:
> > Dass die Parabeln außerhalb der blauen Fläche
> abgeschnitten
> > werden müssen, ist klar, aber sagtest du nicht auch etwas
>
> > davon, dass die roten nach dem Tiefpunkt abgeschnitten
>
> > werden müssen oder so? Warum denn das?
>
> Na ja, dort treffen die Parabeln ja auch die Grenze des
> Gebietes, und dann ist Schluss!
Also, auf deiner Skizze sieht es so aus, als würden die Parabeln die x-Achse nicht unterschreiten, auch nicht bei einem Tiefpunkt. Und nach einem Tiefpunkt gehen sie ja wieder hoch und somit verlassen sie das Gebiet doch nicht, oder was mache ich jetzt falsch? Liegt das an den x-Werten?
Danke auch für deine weiterführenden Erklärungen, sie haben mir ja auch den zweiten Teil meiner Aufgabe schon halb gelöst (naja, wie man die Jacobi-Matrix berechnet, hätte ich schon nachgucken müssen, aber geschafft hätte ich es dann auch alleine. Aber so habe ich schon die Kontrolle! ). Für die Zeichung brauche ich sie aber nicht, oder?
Und ich hoffe, du hast dein Tippex vom Bildschirm wieder abbekommen, ich glaube, so etwas ist nicht so gut für ihn!
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 So 28.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
ich muss leider sagen: ich hatte in letzter Zeit etwas mehr zu tun in der Firma, so dass ich deine weiteren Fragen erst jetzt wieder gesehen habe.
Ich komme aber auch erst am Sonntag Abend dazu, diese zu beantworten.
Brauchst du die dann überhaupt noch?
Falls ja, werde ich das sehr gerne noch etwas erläutern. Falls nein, können wir uns wieder mit voller Kraft den zukünftigen Aufgaben widmen. Aber... ich denke, es wäre schon wichtig, diese Ueberlegungen volltändig zu begreifen! Es geht dann später entsprechend leichter! (Siehe dazu auch deine Erfahrung mit den Eigenvektoren: du hast das Ende Semester nicht mehr so richtig aufgenommen, und promt kamen Schwierigkeiten bei einer, wie mit scheint, relativ einfachen Aufgabe)
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 28.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paul!
Das ist nicht ganz so schlimm, ich habe die Aufgabe einfach mal so abgegeben, zeichnen konnte ich sie ja und den Rest habe ich auch noch irgendwie hinbekommen, also ganz verkehrt ist es wohl nicht.
Aber wenn du die Zeit hast, könntest du mir die anderen Fragen bitte schon noch beantworten, damit ich es wirklich ganz richtig verstehe (du hast schon Recht mit den Eigenvektoren...). Aber, es eilt jetzt nicht mehr (besprechen werden wir die Aufgabe wohl erst ein einer Woche, der Tutor ist etwas langsam) und du kannst auch bitte versuchen, dich kurz zu fassen. Solltest du doch nicht dazu kommen, ist es aber auch kein Beinbruch.
Viele Grüße
Christiane
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An dem Punkt wo Du gerade bist
(Problem gründlich durchdrungen,
aber festgestellt, dass aus dem
Kontext der Vorlesung nicht klar
ist, wie die Aufgabe eigentlich
gemeint ist), könnte es sich lohnen,
mal zum Prof oder Übungsleiter zu
gehen. Mit oder ohne Sprechstunde.
Die Typen werden ja nicht nur für
ihre Forschung bezahlt.
Und der Nebeneffekt: wenn Du zweimal
gut vorbereitet und mit einer intelligenten
Frage zum Prof rennst, kennt er Dich und
kann Dich später evtl fördern (Gutachten,
Dipl-Arbeit).
Courage - PP
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