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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:01 Di 03.07.2007 | | Autor: | tk80 |
| Aufgabe | Es sei (X, d) ein metrischer Raum, A eine kompakte, B eine abgeschlossene Teilmenge von X. Zeigen Sie: Wenn es eine Folge [mm] (a_{n}) n\ge1 [/mm] in A und eine Folge [mm] (b_{n}) n\ge1 [/mm] in B gibt mit:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n}, b_{n}) [/mm] =0
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wie geht man hier vor?
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> Zeigen Sie: Wenn es eine
> Folge [mm](a_{n}) n\ge1[/mm] in A und eine Folge [mm](b_{n}) n\ge1[/mm] in B
> gibt mit:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n}, b_{n})[/mm] =0
... DANN?
WIE heißt die Aufgabe?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Di 03.07.2007 | | Autor: | tk80 |
oh, sorrry,
...dann gilt A [mm] \bigcap [/mm] B [mm] \not=\emptyset
[/mm]
und danke für die tipps...!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Di 03.07.2007 | | Autor: | Sir_E |
Hallo
Also A war ja kompakt und [mm] a_{n} [/mm] eine Folge in A. Wähle aus dieser Folge eine konvergente Teilfolge z.B. [mm] a_{n_{k}} [/mm] aus mit Grenzwert a, der natürlich in a liegt.
Nun gilt (mit der Dreiecksungleichung)
[mm] d(b_{n},a) \le d(b_{n},a_{n_{k}}) [/mm] + [mm] d(a_{n_{k}},a) [/mm]
Die Terme auf der rechten Seite kannst du aber nun bequem durch Epsilons abschätzen.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} d(b_{n},a_{n_{k}}) [/mm] = 0 nach Voraussetzung in der Aufgabe,
und den zweiten Term [mm] d(a_{n_{k}},a) [/mm] einfach durch Einsetzen der Grenzwertdefinition.
Daraus folgt, dass aber nun auch [mm] b_{n} [/mm] konvergiert und zwar gegen a. Wegen der Abgeschlossenheit von B liegt a in B.
Also liegt a in A und B und ist damit das gesuchte Element aus dem Durchschnitt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mi 04.07.2007 | | Autor: | tk80 |
| Aufgabe | | verstehe ich nicht, wie setzt man die grenzwertdefinition ein? und wie schätzt man am besten ab? |
verstehe ich nicht, wie setzt man die grenzwertdefinition ein? und wie schätzt man am besten ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 04.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was heisst denn [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen a? kannst du daraus ne Ungleichung mit nem Epsilon hinschreiben?
Dann tus!
Und lies doch bitte noch mal pkt 1 unserer Forenregeln.
Sir_ E hat die ne ausführliche Antwort geschickt, dafür kriegt er ohne sonst was ne Frage vor den Kopf geknallt! Wie lange hast du über die Antwort nachgedacht? länger als E zum Schreiben allein brauchte?
Gruss leduart
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