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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mo 11.04.2005 | | Autor: | VHN |
HALLO!!!
Hier ist eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich anfangen soll.
Ich hoffe, ihr könnt mir auf die sprünge helfen und mir zeigen, wie ich sie anpacke. vielen dank!
Aufgabe:
Es seien [mm] (M_{n}, d_{n}), [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] metrische Räume mit [mm] d_{n} \le [/mm] 1 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Seien M := [mm] M_{1} \times M_{2} \times [/mm] ... und d(x,y) := [mm] \summe_{n \in \IN }^{} 2^{-n} d_{n}(x_{n},y_{n}) [/mm] für beliebige x = [mm] (x_{1}, x_{2}, [/mm] ...) , y = [mm] (y_{1}, y_{2}, [/mm] ...) [mm] \in [/mm] M.
Zeige, dass auch (M, d) ein metrischer Raum ist.
Wie fang ich mit der Aufgabe an? ich weiß nicht, wie ich beginnen soll.
Danke für eure Hilfe!
ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo VHN!
Du musst ganz konsequent die Eigenschaften einer Metrik nachweisen.
Vorher musst du aber klären, dass es sich tatsächlich um eine Abbildung
$d : M [mm] \times [/mm] M [mm] \to \IR_+$
[/mm]
handelt. Schließlich haben wir eine unendliche Summe, und die könnte ja durchaus auch divergieren.
Aber es gilt:
$0 [mm] \le [/mm] d(x,y) = [mm] \sum\limits_{n \in \IN}2^{-n} \underbrace{d_n(x_n,y_n)}_{0 \le \cdot \le 1} \le \sum\limits_{n \in \IN} 2^{-n} [/mm] =1$.
So, und nun musst du die drei Eigenschaften einer Metrik nachweisen:
1) $d(x,y)=0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x=y$,
2) $d(x,y) = d(y,x)$,
3) $d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z)$.
Du wirst sehen, dass sich alle drei Eigenschaften unmittelbar aus der Tatsache herleiten lassen, dass diese Eigenschaften für alle [mm] $d_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] gelten.
Versuchst du es bitte mal (zunächst selber)? 
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 12.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, stefan!
Danke für die antwort!
Ich habe es nun versucht selber zu machen, allerdings bin ich mir bei einiges sachen ziemlich unsicher. Könntest du sie mir bitte verbessern, falls sie falsch sind? danke!
Danke für den Tipp mit der Abschätzung mit der unendlichen Reihe. ich wär nicht drauf gekommen, es so zu machen.
Nun weise ich die einzelnen Punkte nach:
(1) d(x,y) = d(y,x)
d(x,y) = [mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} d_{n} (x_{n},y_{n})
[/mm]
= [mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} d_{n} (y_{n},x_{n})
[/mm]
= d(y,x)
-> da [mm] d_{n} [/mm] Metrik ist, ist [mm] d_{n} [/mm] symmetrisch.
(2) d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z)
d(x,z) = [mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} d_{n} (x_{n},z_{n})
[/mm]
[mm] \le \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} (d_{n} (x_{n},y_{n}) [/mm] + [mm] d_{n} (y_{n},z_{n}))
[/mm]
= [mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} d_{n} (x_{n},y_{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} d_{n} (y_{n},z_{n})
[/mm]
= d(x,y) + d(y,z)
(3) aus d(x,y) = 0 folgt x=y
d(x,y) = [mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} d_{n} (x_{n},y_{n}) [/mm] = 0
Daraus folgt, dass [mm] d_{n} (x_{n},y_{n}) [/mm] = 0.
daraus folgt weiter, dass [mm] x_{n} [/mm] = [mm] y_{n} [/mm] = 0.
Also auch x= y.
(4) d(x,x) = 0
d(x,x) = [mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} d_{n} (x_{n},x_{n}) [/mm]
es folgt: [mm] d_{n} (x_{n},x_{n} [/mm] = 0, also auch
[mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} d_{n} (x_{n},x_{n}) [/mm] = 0
also auch d(x,x) = 0.
Stimmt das alles so? es kann doch nicht sein, dass es so "einfach" ist, oder?
Vielen dank für deine hilfe!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Di 12.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo VHN,
> Stimmt das alles so? es kann doch nicht sein, dass es so
> "einfach" ist, oder?
Ich denke aber doch. Zumindest finde ich keinen Fehler.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Do 14.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Stefan!
Danke für deine Hilfe. ich habe es nun versucht zu beweisen, und man hat mir bestätigt, dass es richtig sei.
Allerdings hätte ich noch eine Frage zu deiner Antwort.
Und zwar bei der Abschätzung mit [mm] \summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} [/mm] = 1.
Ich habe in einem Mathe-Lexikon nachgeschaut, und da steht drinnen, dass diese Reihe den Wert 2 und nicht 1 hat, weil ja gilt:
[mm] summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + ...
Es gilt doch, dass die Null in [mm] \IN [/mm] mit dabei ist, oder? Wenn ja, dann muss doch der Wert dieser reihe 2 sein. Ändert das aber was an dem Beweis von d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0?
Wenn ich d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 beweisen will, reicht es da nicht einfach, dass ich beweise, dass d(x,y) positiv ist, oder ist es unbedingt nötig zu zeigen, dass es auch kleiner gleich 1 ist?
Soweit ich die Aufgabe verstehe, ist nicht gefordert, dass es kleiner gleich 1 sein muss. Oder doch?
Ich hoffe, du verstehst, was ich meine.
Danke für deine Hilfe nochmals!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Do 14.04.2005 | | Autor: | Didi |
> Es gilt doch, dass die Null in [mm]\IN[/mm] mit dabei ist, oder?
Also unser Dozent meinte, dass die 0 in der deutschen Mathematik nicht drin ist; in manchen anderen Ländern aber schon. War das denn ein deutsches Lexikon!?!
In seinem Skript hat er die IN so definiert:
"Die natürlichen Zahlen sind diejenigen Zahlen, die man als Summe von 1-en darstellen kann."
=> 1
2:= 1+1
...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Do 14.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo VHN!
> Allerdings hätte ich noch eine Frage zu deiner Antwort.
> Und zwar bei der Abschätzung mit [mm]\summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} = 1[/mm] .
> Ich habe in einem Mathe-Lexikon nachgeschaut, und da steht
> drinnen, dass diese Reihe den Wert 2 und nicht 1 hat, weil
> ja gilt:
> [mm]\summe_{n \in \IN}^{} 2^{-n} = 1 + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{4} + ...[/mm]
>
> Es gilt doch, dass die Null in [mm]\IN[/mm] mit dabei ist, oder?
> Wenn ja, dann muss doch der Wert dieser reihe 2 sein.
Nach meinem Verständnis ist die Null nicht in der Menge der natürlichen Zahlen [mm] $\IN$ [/mm] enthalten, habe aber soeben in der Internet-Recherche auch das Gegenteil gesehen und lasse mich da auch gerne eines Besseren belehren (@Stefan: It's your part  ) ...
Ein Indiz, die Null wegzulassen, ist der Aufgabenstellung zu entnehmen, da $x \ := [mm] \left(x_{\red{1}}; x_2; ...; x_n\right)$ [/mm] und $y \ := [mm] \left(y_{\red{1}}; y_2; ...; y_n\right)$ [/mm] eindeutig mit der Gliednummerierung "1" beginnen ...
> Ändert das aber was an dem Beweis von d(x,y) [mm]\ge[/mm] 0?
Die Konvergenz von $d(x, y)$ wäre aber auch mit [mm] $\summe_{n \in \IN_{\red{0}}} 2^{-n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 2$ nachgewiesen ...
Gruß
Loddar
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hatte es immer schwer