min, max, sup, inf einer Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 So 23.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Supremum, Infimum, Maximum, Minimum der folgenden Mengen:
a) A = {x [mm] \in \IR: [/mm] x = [mm] -\bruch{1}{n} [/mm] + [1 + [mm] (-1)^{n}]n^{2}, [/mm] n [mm] \in \IN\}
[/mm]
b) B = {x [mm] \in \IR: [/mm] x = [mm] \bruch{1}{1+s^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{t^2 - 2t +2}, [/mm] s, t [mm] \in \IR\} [/mm] |
Meine Lösung zu a) wäre folgende:
Infimum=Minimum=-1, Supremum und Maximum existieren nicht, da das ganze gegen unendlich geht für n gegen unendlich. Ist das richtig? Habe allerdings noch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das korrekt aufschreiben soll.
zu b) Hä? Garkeinen Ansatz.
Danke
Anton
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> Bestimmen Sie das Supremum, Infimum, Maximum, Minimum der
> folgenden Mengen:
> a) [mm]A = \left\{x \in \IR: x = -\bruch{1}{n} + [1 +
(-1)^{n}]n^{2}, n \in \IN\right\}[/mm]
>
> b) [mm]B = \left\{x \in \IR: x = \bruch{1}{1+s^{2}} + \bruch{1}{t^2 - 2t +2}, s, t \in \IR\right\}[/mm]
> Meine Lösung zu a) wäre folgende:
>
> Infimum=Minimum=-1, Supremum und Maximum existieren nicht,
> da das ganze gegen unendlich geht für n gegen unendlich.
> Ist das richtig?
Scheint mir richtig zu sein.
> Habe allerdings noch das Problem, dass ich
> nicht weiß, wie ich das korrekt aufschreiben soll.
Kann ich gut nachfühlen. Mir fällt im Moment auch nicht gerade etwas briliant Elegantes ein. Man kann aber vielleicht sagen, dass $x$ die Summe der Werte einer von $-1$ streng monoton wachsenden Folge [mm] $-\frac{1}{n}$ [/mm] und einer zwischen $0$ und [mm] $2n^2$ [/mm] alternierenden Folge ist...
> zu b) Hä? Garkeinen Ansatz.
Wann wird eine Summe gross, wann klein? Wenn beide Summanden gross bzw. beide klein sind.
Der erste Summand [mm] $\frac{1}{1+s^2}$ [/mm] nimmt seinen grössten Wert $1$ für $s=0$ an und nähert sich für [mm] $s\rightarrow \pm \infty$ [/mm] von oben an $0$ an. (Betrachte dazu zuerst die Parabel [mm] $y=1+s^2$: [/mm] insbesondere die Lage ihres Scheitelpunktes.)
Der zweite Summand [mm] $\frac{1}{t^2-2t+2}$ [/mm] nimmt seinen grössten Wert $1$ bei $t=1$ an und nähert sich für [mm] $t\rightarrow \pm \infty$ [/mm] ebenfalls von oben an $0$ an. (Betrachte dazu ebenfalls zuerst die Parabel [mm] $y=t^2-2t+2$: [/mm] insbesondere die Lage ihres Scheitelpunktes.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 24.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
Hallo!
> Wann wird eine Summe gross, wann klein? Wenn beide
> Summanden gross bzw. beide klein sind.
> Der erste Summand [mm]\frac{1}{1+s^2}[/mm] nimmt seinen grössten
> Wert [mm]1[/mm] für [mm]s=0[/mm] an und nähert sich für [mm]s\rightarrow \pm \infty[/mm]
> von oben an [mm]0[/mm] an. (Betrachte dazu zuerst die Parabel
> [mm]y=1+s^2[/mm]: insbesondere die Lage ihres Scheitelpunktes.)
>
> Der zweite Summand [mm]\frac{1}{t^2-2t+2}[/mm] nimmt seinen grössten
> Wert [mm]1[/mm] bei [mm]t=1[/mm] an und nähert sich für [mm]t\rightarrow \pm \infty[/mm]
> ebenfalls von oben an [mm]0[/mm] an. (Betrachte dazu ebenfalls
> zuerst die Parabel [mm]y=t^2-2t+2[/mm]: insbesondere die Lage ihres
> Scheitelpunktes.)
Also wenn ich das jetzt richtig verstehe, dann ist Maximum=Supremum=2 und Infimum=0 und das Minimum existiert nicht?
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> Hallo!
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> > Wann wird eine Summe gross, wann klein? Wenn beide
> > Summanden gross bzw. beide klein sind.
> > Der erste Summand [mm]\frac{1}{1+s^2}[/mm] nimmt seinen
> grössten
> > Wert [mm]1[/mm] für [mm]s=0[/mm] an und nähert sich für [mm]s\rightarrow \pm \infty[/mm]
> > von oben an [mm]0[/mm] an. (Betrachte dazu zuerst die Parabel
> > [mm]y=1+s^2[/mm]: insbesondere die Lage ihres Scheitelpunktes.)
> >
> > Der zweite Summand [mm]\frac{1}{t^2-2t+2}[/mm] nimmt seinen grössten
> > Wert [mm]1[/mm] bei [mm]t=1[/mm] an und nähert sich für [mm]t\rightarrow \pm \infty[/mm]
> > ebenfalls von oben an [mm]0[/mm] an. (Betrachte dazu ebenfalls
> > zuerst die Parabel [mm]y=t^2-2t+2[/mm]: insbesondere die Lage ihres
> > Scheitelpunktes.)
>
> Also wenn ich das jetzt richtig verstehe, dann ist
> Maximum=Supremum=2 und Infimum=0 und das Minimum existiert
> nicht?
Ja, ich denke das ist richtig.
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