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| Aufgabe | a) Wie viele Möglichkeite gibt es 5 Mädchen und 5 Jungen so in eine Reihe zu setzen, dass nie zwei Jungen oder zwei Mädchen nebeneinander sitzen.
Lösung (vom Lehrere gegeben): 28800
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn je ein bestimmter Junge und ein bestimmtes Mädchen zusammensitzen wollen?
Lsg: 10368
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn ein bestimmter Junge und ein bestimmtes Mädchen nicht zusammensitzen wollen?
Lsg: 18432 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe im Unterricht die Pfadregel für Baumdiagramme kennengelernt. Ich weiß, dass ich das mit dieser Regel berechnen könnte. Da der Baum aber 10 Stufen hätte ist das wahrscheinlich nicht der von meinem Lehrer gewollte weg.
Außerdem kenne ich Formel zur Berechnung der möglichen Erbenisse bei geordneten Stichproben mit zurücklegen [mm] (n^k), [/mm] geordneten Stichproben ohne zurücklegen [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] und ungeordnete Stichproben ohne zurücklegen [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] .
Hier komme ich aber einfach nicht drauf, was mein n und mein k ist. Ich weiß, dass der Versuch ohne zurücklegen ist. Bei Aufgabe a ist die Reihenfolge zwar einerseits wichtig, weil ja nicht Mädchen und Junge nebeneinandersitzen dürfen, was eher für geordnet spricht, aber da bei a egal ist welche der 5 Mädchen und Jungen irgendwie auch ungeordnet.
Bei b und c ist es auf jeden Fall geordnet ohne zurücklegen. Weiter komme ich aber leider nicht.
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> a) Wie viele Möglichkeite gibt es 5 Mädchen und 5 Jungen
> so in eine Reihe zu setzen, dass nie zwei Jungen oder zwei
> Mädchen nebeneinander sitzen.
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> Lösung (vom Lehrere gegeben): 28800
Stelle Dir die 10 Plätze dieser Reihe von 1 bis 10 nummeriert vor.
Die Jungen können entweder alle auf den ungeraden oder auf den geraden Plätzen sitzen: dies sind zwei sich ausschliessende Fälle mit exakt gleich vielen Möglichkeiten der Anordnung.
Setzen wir die 5 Jungen alle auf die 5 ungeraden Plätze, so können wir sie auf $5!$ Arten anordnen. Unabhängig davon, können wir die 5 Mädchen auf die 5 geraden Plätze auf $5!$ Arten anordnen. Insgesamt gibt dies [mm] $5!\cdot [/mm] 5!$.
Analog für den Fall, dass man die Jungen auf die geraden, die Mädchen auf die ungeraden Plätze setzt.
Insgesamt erhält man also [mm] $\red{2\cdot} (5!)^2=28800$ [/mm] mögliche Sitzordnungen.
> b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn je ein bestimmter
> Junge und ein bestimmtes Mädchen zusammensitzen wollen?
Bei dieser Teilaufgabe komme ich leider nicht auf das Ergebnis, das Du angegeben hast. Ich schreibe einfach mal, wie ich überlege: vielleicht findest Du meinen Fehler.
Überlegung (möglicherweise falsch): Wir können solchen 5 Paaren von je einem Jungen und einem Mädchen, die nebeneinander sitzen wollen, auf $5!$ Arten "Doppelplätze" zuteilen. Aber nun können diese 5 Paare noch (unabhängig voneinander) wählen, ob der Junge auf dem Sitz mit der tieferen Nummer (links vom Mädchen) oder mit der höheren Nummer (rechts vom Mädchen) des gemeinsam belegten "Doppelplatzes" sitzt. Jede Belegung der Doppelplätze durch solche Paare erlaubt also die Sitzanordnung noch auf [mm] $2^5$ [/mm] Arten zu variieren. Insgesamt erhält man so [mm] $2^5\cdot [/mm] 5!=3840$ Möglichkeiten.
> Lsg: 10368
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Ich muss wohl falsch überlegt haben...
> c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn ein bestimmter
> Junge und ein bestimmtes Mädchen nicht zusammensitzen
> wollen?
Die Fragestellung scheint mir nicht eindeutig: ist nur ein einziger Junge und ein einziges Mädchen gemeint? Ist die Beschränkung auf das abwechslungsweise Mädchen und Jungen in der Sitzordnung auftreten für diese Teilaufgabe nicht mehr gültig? Ich nehme einmal an, dass der Aufgabentext so aufzufassen ist. Dann können wir den fraglichen Jungen auf 10 Arten auf einem der 10 Sitzplätze platzieren. Dabei müssen wir aber unterscheiden, ob er auf dem 1., dem 10. oder einem der anderen 8 Plätze sitzt. Sitzt er auf dem 1. oder dem 10. Platz, so kann dem fraglichen Mädchen noch auf 8 Arten ein Platz zugeordnet werden, der nicht direkt neben diesem Jungen liegt. Sitzt er aber auf einem der 8 anderen Plätze, so kann man dieses Mädchen nur noch auf 7 Arten auf einem nicht-benachbarten Platz setzen. Hat man diese beiden "kritischen" Personen platziert, so kann man die restlichen 8 Personen auf den verbleibenden 8 Sitzen beliebig, also auf $8!$ Arten platizeren. Insgesamt erhalte ich bei dieser Überlegung [mm] $(2\cdot 8+8\cdot 7)\cdot [/mm] 8!=2903040$ Möglichkeiten.
> Lsg: 18432
Offenbar erhalte ich viel zu viele Möglichkeiten. Ich vermute, dass dies darauf zurückzuführen ist, dass der Aufgabensteller die für Teilaufgabe a) eingeführte Beschränkung auf abwechselnde (Junge/Mädchen) Sitzordnung klamm-heimlich beibehalten hat. Wenn ein Aufgabensteller aber will, dass eine Bedingung für alle anderen Teilaufgaben ebenfalls beibehalten werden soll, dann darf er, meiner unmassgeblichen Meinung nach, eine solche Bedingung nicht im Text einer Teilaufgabe - hier a) - vergraben, sondern muss sie im übergeordneten Aufgabentext als "Generalklausel" bereits anführen.
Also ich rechne nun die Zahl der Fälle bei Wiedereinführen der Beschränkung auf alternierende Jungen/Mädchen-Sitzordnung nicht: vielleicht versuchst Du Dich selbst nochmals an dieser Teilaufgabe.
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> a) Wie viele Möglichkeite gibt es 5 Mädchen und 5 Jungen
> so in eine Reihe zu setzen, dass nie zwei Jungen oder zwei
> Mädchen nebeneinander sitzen.
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> Lösung (vom Lehrere gegeben): 28800
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> b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn je ein bestimmter
> Junge und ein bestimmtes Mädchen zusammensitzen wollen?
> Lsg: 10368
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> c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn ein bestimmter
> Junge und ein bestimmtes Mädchen nicht zusammensitzen
> wollen?
> Lsg: 18432
Es scheint wirklich so zu sein, wie ich in meiner ersten Antwort vermutet hatte: man erhält diese Zahl, 18432, falls man nicht nur verlangt, dass ein gewisser (einzelner) Knabe nicht neben einen gewissen (einzelnen) Mädchen sitzen soll, sondern dass auch noch immer, wie in Teilaufgabe a), Knaben und Mädchen abwechselnd sitzen.
Überlegung: Sitzt der fragliche Knabe auf dem 1. oder dem 10. Platz, dann kann man das betreffende Mädchen noch auf 4 Plätzen sitzen lassen. Für die restlichen Buben und Mädchen gibt es dann je noch $4!$ Möglichkeiten der Sitzordnung auf den restlichen 8 Plätzen: insgesamt für diesen ersten Fall, dass sich der fragliche Knabe auf dem 1. oder 10. Sitz befindet: [mm] $2\cdot 4\cdot (4!)^2$ [/mm] Möglichkeiten.
Sitzt der fragliche Knabe aber auf einem der Plätze 2. bis 9., so kann man das fragliche Mädchen nur noch auf 3 Arten so platzieren, dass es nicht direkt neben diesem Knaben sitzt. Die restlichen Knaben und Mädchen lassen sich wieder auf je $4!$ Arten ordnen: insgesamt [mm] $8\cdot 3\cdot (4!)^2$ [/mm] Möglichkeiten.
Damit haben wir insgesamt
[mm]2\cdot 4\cdot (4!)^2+8\cdot 3\cdot (4!)^2=18432 \text{ Möglichkeiten}[/mm]
was den unbestreitbaren Vorteil hat, mit der Lösung Deines Lehrers übereinzustimmen. Aber, wie gesagt: Ich bin der Ansicht, dass diese stillschweigende Übernahme einer Bedingung für die Sitzordnung, die nur in Teilaufgabe a) formuliert wurde, schlicht unzulässig ist. An einem Abitur würde man in einem solchen Falle die in meiner ersten Antwort auf Deine Frage verwendete Interpretation der Aufgabenstellung zumindest auch als richtig akzeptieren müssen.
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> a) Wie viele Möglichkeite gibt es 5 Mädchen und 5 Jungen
> so in eine Reihe zu setzen, dass nie zwei Jungen oder zwei
> Mädchen nebeneinander sitzen.
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> Lösung (vom Lehrere gegeben): 28800
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> b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn je ein bestimmter
> Junge und ein bestimmtes Mädchen zusammensitzen wollen?
> Lsg: 10368
Bei dieser Aufgabe hat mich der Zustatz je dazu veranlasst, den Text so zu interrpetieren, dass 5 Paare von Jungen und Mädchen zu platzieren sind.
Dies ergibt aber eine zu kleine Zahl (zu klein relativ zu der von Deinem Lehrer angegebenen Zahl).
Interpretiert man diese Aufgabenstellung aber so, dass es nur einen einzigen Jungen und ein einziges Mädchen gibt, die unbedingt nebeneinander platziert werden sollen, und soll aber die Bedingung des abwechselnd Jungen und Mädchen zu platzieren aus Teilaufgabe a) weiterhin gelten, dann erhält man in der Tat [mm] $2\cdot 1\cdot [/mm] 4! [mm] \cdot 4!+8\cdot 2\cdot 4!\cdot [/mm] 4=10368$ Möglichkeiten.
Begründung: Sitzt der wählerische Knabe auf Platz 1 oder 10, so gibt es für seine bevorzugte Nachbarin keine Wahl mehr (bzw. nur eine einzige Möglichkeit). Die restlichen Knaben können auf den Pätzen für Knaben noch auf $4!$ und die restlichen Mädchen auf Plätzen für Mädchen ebenfalls auf $4!$ Arten platziert werden. Ergibt insgesamt [mm] $2\cdot 1\cdot 4!\cdot [/mm] 4!$ Möglichkeiten.
Sitzt der wählerische Knabe aber auf einem der 8 Plätze 2 bis 9, so kann seine bevorzugte Nachbarin auf 2 Arten neben ihm platziert werden. Für die restlichen Knaben bzw. Mädchen gibt es dann wieder je $4!$ mögliche Platzierungen. Ergibt insgesamt [mm] $8\cdot 2\cdot 4!\cdot [/mm] 4!$ Möglichkeiten.
Damit haben wir als Lösung [mm] $2\cdot 1\cdot 4!\cdot 4!+8\cdot 2\cdot 4!\cdot [/mm] 4!=10368$ Möglichkeiten.
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