n-maliges Würfeln ZV Augenzahl < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN. [/mm] Ein fairer Würfel wird n-mal geworfen. Als Wahrscheinlichkeitsraum verwenden wir hierbei [mm] (\Omega,\mathcal{F},P), [/mm]
wobei [mm] \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}^n, \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega) [/mm] und P die uniforme Verteilung darstellt. Die Zufallsvariable X sei nun die kleinste
der geworfenen Augenzahlen, d.h. [mm] X(\omega):=min_{i=1,...n }\text{ }\omega_i [/mm] für alle [mm] \omega=(\omega_1,...,\omega_n)\in \Omega.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass für alle [mm] k\in\{1,...,6\} [/mm] gilt: [mm] P[X=k]=P[X\ge k]-P[X\ge{k+1}]
[/mm]
(b) Bestimmen Sie P[X=k] für alle [mm] k\in \{1,...6\}. [/mm] |
Tag Leute,
also ich hab mir das folgerndermaßen gedacht.
zu (a): [mm] P[X\ge k]-P[X\ge{k+1}]=P[X\in \bigcup_{i\ge k}i]-P[X\in \bigcup_{i\ge k+1}i]=P[\bigcup_{i\ge k} \{\omega|X(\omega)\in \{i\}\}]-P[\bigcup_{i\ge k+1} \{\omega|X(\omega)\in \{i\}\}]
[/mm]
[mm] =\sum_{i\ge k} P[X\in \{i\}]-\sum_{i\ge k+1} P[X\in \{i\}]=\sum_{i\ge k} P_X[\{i\}]-\sum_{i\ge k+1} P_X[\{i\}]
[/mm]
[mm] =P_X[\{k\}]+\sum_{i\ge k+1} P_X[\{i\}]-\sum_{i\ge k+1} P_X[\{i\}]=P_X[\{k\}]=P[X\in \{k\}]
[/mm]
=P[X=k]
zu (b): Für alle [mm] k\in \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] gilt:
[mm] P_X[\{k\}]=P[X\in \{k\}]=P[X=k]=\bruch{\left| \{\omega\in \Omega|X(\omega)=k\} \right|}{\left| \Omega \right|}=\bruch{\left| \{\omega\in \Omega|X(\omega)=k\} \right|}{6^n}
[/mm]
Ist das bisher alles in Ordnung?? Wär klasse, wenn jemand kurz drüber schauen könnt, bin für Verbesserungsvorschläge aller Art offen :).
Ich bräucht auch noch an Tipp wie ich hier bei (b) alle n-Tupel, bei denen [mm] k\in \{1,...,6\} [/mm] die kleinste geworfene Augenzahl ist, berechnen kann, d.h. wie kann ich [mm] \left| \{\omega\in \Omega|X(\omega)=k\} \right| [/mm] konkret ausrechnen??
Vielen Dank schon mal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 So 25.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hat niemand Lust kurz drüber zu schaun bzw. an Tipp für die Berechnung zu geben? Wär echt klasse!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 So 25.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Es gab jetzt noch den Hinweis bei (b) den Aufgabenteil (a) zu verwenden, d.h. [mm] P[X\ge [/mm] k] und [mm] P[X\ge [/mm] k+1] zu berechnen und dann in die Formel einsetzen. Das macht mir die Sache aber auch nicht leichter. Aber vielleicht kann ja hier jemand was damit anfangen und mir dadurch doch noch zu einem brauchbaren Tipp verhelfen. Wär echt klasse!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 So 25.04.2010 | | Autor: | koepper |
Hallo kegel,
zu a.) Das ist zwar richtig, aber du solltest eine wesentliche Voraussetzung nicht zu erwähnen vergessen: X ist eine diskrete ZV. Nur damit hält deine Argumentation!
Die durchgeführten Schritte finde ich extrem übertrieben klein, aber das ist sicher Ansichtssache...
zu b.) auch korrekt, der gewünschte Tipp ist Aufgabenteil a.)
Fang mal an mit P(X=6) und dann arbeite dich runter bis P(X=1).
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 So 25.04.2010 | | Autor: | koepper |
Sorry, ich hatte deine 2. Mitteilung irgendwie übersehen:
$P(X=6)$ ist offensichtlich.
$P(X=5) = P(X [mm] \ge [/mm] 5) - P(X=6)$ Wie viele Zahlen stehen denn für die Kombinationen zur Verfügung, wenn alle Würfe mindestens 5 sind?
$P(X=4) = P(X [mm] \ge [/mm] 4) - P(X=5) - P(X=6)$ Wie viele Zahlen stehen für die Kombinationen zur Verfügung, wenn alle Würfe mindestens 4 sind?
usw...
LG
Will
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:27 Mo 26.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ers mal vielen Dank für die Bestätigung und den Tipp. Achja und da wir bisher nur diskrete ZV behandelt haben, erübrigt sich in dem Fall dein Einwand, aber ich werds sicherheitshalber auch nochmal dazu schreiben. Dank dir!
Ich hätte allerdings noch ne Frage. Und zwar soll ich in Teilaufgabe (b) die Verteilung von X bestimmen, d.h. ich muss hier lediglich P[X=k] für alle [mm] k\in \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] berechnen, wie ja bereits erwähnt. Jetzt kann ich das ja so machen wie du das zuvor geschildert hast, also sprich für 1,2,3,4,5 und 6 die Wahrscheinlichkeit einzeln ausrechnen.
Aber gibt es hier nicht irgendeine allgemeine Berechnungs-Formel, mit der ich quasi alle sechs möglichen Werte für k auf einmal abdecken kann??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Mo 26.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Oder ist hier gar keine allgemeine Formel zur Berechnung möglich??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Di 27.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Also anscheinend gibt es so eine Formel zur Berechnung, allerdings hab ich keinerlei Idee wie diese aussehen könnte. Hat da jemand ne Idee oder zumindest an Tipp??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mi 28.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Di 27.04.2010 | | Autor: | gfm |
Setze [mm] A_k:=\{X\ge k\}, [/mm] wenn k=1,...,6, sowie [mm] A_7=\emptyset
[/mm]
Es gilt
[mm] A_k=\{\omega:\operatorname{min} \omega_i\ge k\}=\{\omega:\forall \omega_i\ge k\}= \{k,k+1,...,6\}^n [/mm] für k=1,...,6
und deswegen
[mm] |A_k|=(7-k)^n [/mm]
sowie
[mm] A_{k+1}\subset A_k [/mm]
und
[mm] A_k\backslash A_{k+1}=\{\omega:(\exists \omega_i=k)\wedge(\forall \omega_i\ge k)\}= \{\omega:\operatorname{min} \omega_i=k\}=\{X=k\}
[/mm]
Damit ist
[mm] P(A_k)=|A_k|/|\Omega|=(7-k)^n/6^n
[/mm]
sowie
[mm] P(\{X=k\})=P(A_k\backslash A_{k+1})=P(A_k)-P(A_{k+1})=((7-k)^n-(6-k)^n)/6^n
[/mm]
z.B. [mm] P(\{X=6\})=1/6^n [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass das die kleinste Augenzahl eine sechs ist, dass also alle Würfe eine sechs liefern.
[mm] P(\{X=1\})=1-5^n/6^n [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Wurf eine eins liefert. Dass ist das Gegenereignis dazu, dass keine eins geworfen wird.
Ich hoffe, das paßt.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Di 27.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Jawoll das sieht doch mal nach was aus :) !! Vielen Dank dafür.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Di 04.05.2010 | | Autor: | DerHansi |
Im Prinzip geht auch das:
Beh: P[X=k] = P[X [mm] \le [/mm] k] - P[X [mm] \le [/mm] k-1]
Bew: P[X [mm] \le [/mm] k] - P[X [mm] \le [/mm] k-1] = [mm] \summe_{i=1}^{k} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{k-1} [/mm] = P[X=k]
:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Di 04.05.2010 | | Autor: | gfm |
Hat nur mit der Aufgabe nichts zu tun... :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Di 04.05.2010 | | Autor: | DerHansi |
Ja, hast schon Recht, aber der Witz ist, dass die Aufgabe ursprünglich so gestellt war  . War eigentlich nur eine "Alternativlösung" für kegel53 :o).
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