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| Aufgabe | Gegeben ist die Gleichung
[mm] $z^5=1024$
[/mm]
a) zeigen Sie das die Gleichung [mm] $z_0=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}} [/mm] eine Lösung der gegebenen Gleichung ist.
b)Bestimmen Sie eine weitere Lösung [mm] $z_1$ [/mm] der obigen Gleichung [mm] $(z_1\not=4, z_1\not=z_0)$ [/mm] |
Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?
Was kann ich aus dem Hinweis [mm] $(z_1\not=4, z_1\not=z_0)$ [/mm] herauslesen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Mi 15.02.2012 | | Autor: | al3pou |
> Gegeben ist die Gleichung
> [mm]z^5=1024[/mm]
> a) zeigen Sie das die Gleichung [mm]$z_0=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}}[/mm]
> eine Lösung der gegebenen Gleichung ist.
> b)Bestimmen Sie eine weitere Lösung [mm]z_1[/mm] der obigen
> Gleichung [mm](z_1\not=4, z_1\not=z_0)[/mm]
>
> Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?
Also es geht um komplexe Zahlen und du sollst ja eine
Lösung für die Gleichung
[mm] z^{5} [/mm] = 1024
finden. Da z potenziert wurde und du ja das einfache z
haben willst wirst du wohl die Wurzel ziehen müssen, was
uns zum Ansatz für deine Aufgabe bringt:
Wurzel ziehen komplexer Zahlen!
> Was kann ich aus dem Hinweis [mm](z_1\not=4, z_1\not=z_0)[/mm]
> herauslesen
>
Also erstmal sollst du eine weitere Lösung für die
Gleichung finden. Die Lösung wird mit [mm] z_{1} [/mm] bezeichnet und
[mm] z_{1} [/mm] darf halt nicht = 4 sein und auch nicht das schon
bekannte Ergebnis, aber weil es viele Lösungen gibt, beim
Wurzel ziehen komplexer Zahlen sollte das kein Problem
werden.
Gruß
al3pou
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Gleichung
> [mm]z^5=1024[/mm]
> a) zeigen Sie das die Gleichung [mm]$z_0=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}}[/mm]
> eine Lösung der gegebenen Gleichung ist.
> b)Bestimmen Sie eine weitere Lösung [mm]z_1[/mm] der obigen
> Gleichung [mm](z_1\not=4, z_1\not=z_0)[/mm]
>
> Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?
Zu a) : einfach nachrechnen: [mm] z_0^5=1024. [/mm] Benutze hierbei die Regel [mm] (e^a)^n= e^{n*a}
[/mm]
Zu b): Mache den Ansatz: [mm] z_1= 4e^{it}
[/mm]
dann: [mm] z_1^5=1024*e^{i5t}
[/mm]
Das liefert: [mm] e^{i5t}=1 [/mm] und somit: [mm] t=\bruch{2 k \pi}{5} [/mm] mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
Nun such Dir ein geeignetes k aus.
FRED
> Was kann ich aus dem Hinweis [mm](z_1\not=4, z_1\not=z_0)[/mm]
> herauslesen
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mi 15.02.2012 | | Autor: | georg1982 |
So ich hab mal etwas herum gerechnet, weiß aber nicht ob meine Lösung so. Richtig ist.
[mm] $z^5=1024$ [/mm] Hier fehlt noch das Argument [mm] ($e^{it}$) [/mm] mit [mm] $t=\frac{2k\pi}{n}$ [/mm] und $n=5$
das forme ich also um zu
[mm] $z^5=4^5\cdot e^{it}^5$
[/mm]
[mm] $z^5=1024\cdot e^{i5t}$
[/mm]
hieraus ziehe ich die 5. Wurzel
[mm] $\sqrt[5]{z}=4\cdot e^{i5t}^\frac{1}{5}$
[/mm]
das wird dann zu
[mm] $\sqrt[5]{z}=4\cdot e^{i\frac{2k\pi}{5}}$ [/mm] da sich die $5$ herauskürzt
dann gehe ich weiter indem ich für $k$ die Zahlen $0, 1, 2, 3 , 4$ alle zahlen von $0, 1, ... n-1$ einsetze und z entsprechend indiziere
damit komme ich dann auf
[mm] $z_0=4\cdot e^{i\frac{2\cdot0\pi}{5}}=4\cdot e^{i0}=4$
[/mm]
in der Aufgabenstellung Steht das [mm] $z_0=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}}$ [/mm] ist mache ich hier was falsch?
wenn weiter rechne dann komme ich auf folgende Lösungen
[mm] $z_1=4\cdot e^{i\frac{2\pi}{5}}$
[/mm]
[mm] $z_2=4\cdot e^{i\frac{4\pi}{5}}$
[/mm]
[mm] $z_3=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}}$ [/mm] Ist damit a) bewiesen?
[mm] $z_4=4\cdot e^{i\frac{8\pi}{5}}$
[/mm]
[mm] $z_5=4\cdot e^{i\pi}$ [/mm] Das entspricht ja wieder [mm] $z_0$ [/mm] weil wir einen vollen Kreis herum gegangen sind.
für eine Klausuraufgabe erscheint mir das etwas wenig. kann aber auch sein das es nur eine 8 Punkte Aufgabe ist
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