n-te Wurzel < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 01.03.2006 | | Autor: | AXXEL |
HI!
Ich hatte heute eine Diskussion mit meinem Mathelehrer, ob man die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann (wenn n ungerade ist!).
Ich dachte man könne das problemlos, mein Lehrer meinte aber es würde nicht gehen, weil es in bestimmten Fällen zu Widersprüchen führen würde.
Leider konnte er mir weder einen konkreten Fall sagen, bzw. erklären warum man zum Beispiel nicht so ohne weiteres die 3te Wurzel aus -8 ziehen kann !
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen !
ALEX
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mi 01.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das geht schon problemlos! Du kannst zum Beispiel so argumentieren:
[mm] \wurzel[n]{x}=\wurzel[n]{(y)^{n}}=y [/mm] für ein geeigntes y.
Das gilt für alle x und für alle n, solange so ein y existiert. In deinem Fall existert eins und zwar genau eins und es ist -2.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 01.03.2006 | | Autor: | AXXEL |
Theoretisch müsste dann doch aber zu jeder n-ten Wurzel aus einer negativen Zahl (wenn n ungerade ist ) ein geeignetes y existieren und somit hätte ich Recht gehabt bei der Diskussion mit meinem Lehrer oder?
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Hi, Axxel,
das Problem trat im Matheraum schon mehrfach auf.
Im Grunde ist der Übergang von einer Wurzel zum entsprechenden Potenzterm die eigentlich kritische Stelle, also:
[mm] \red{ \wurzel[n]{a} = a^{\bruch{1}{n}}} [/mm]
Dies gilt IN JEDEM FALL nur für a [mm] \ge [/mm] 0.
Nun aber zu Deinem Beispiel:
Nimm' an, Du gestattest, dass [mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] = -2 ist.
Dann bekommst Du folgendes logische Problem:
[mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] = [mm] (-8)^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Noch nix dabei, aber:
[mm] {\bruch{1}{3}} [/mm] ist ja wohl dasselbe wie [mm] {\bruch{2}{6}}, [/mm] oder?
Dann ist aber auch:
[mm] (-8)^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] (-8)^{\bruch{2}{6}}
[/mm]
und nach den Potenzgesetzen kannst Du schreiben:
[mm] (-8)^{\bruch{2}{6}} [/mm] = [mm] ((-8)^{2})^{\bruch{1}{6}} [/mm] = ...
Merkst Du was? Jetzt verschwindet nämlich das Minuszeichen:
... = [mm] 64^{\bruch{1}{6}} [/mm] = +2
Und damit hast Du einen Widerspruch zum ersten Ergebnis (-2).
Drum legt man meist fest:
Auch bei ungeraden Wurzelexponenten muss der Radikand [mm] \ge [/mm] 0 sein!
Dein Lehrer hat Recht!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 01.03.2006 | | Autor: | dormant |
Zwerglein, hallo!
Ich habe das Gefühl, dass du dich vertan hast.
[mm] x^{1/3}\not=x^{2/6}, [/mm] weil z.B. [mm] (-|x|)^{1/1}\not=(-|x|)^{2/2}=\pm|x|.
[/mm]
Überhaupt darf man nicht schließen, dass
[mm] -2=\wurzel[2]{(-2)^2}=\pm [/mm] 2.
Wenn man aus einer negativen Zahlen, was der Radikand von [mm] \wurzel[6]{(-2)^2} [/mm] nicht ist, eine ungerade Wurzel zieht, ist der Radix (also die "Lösung") eine eindeutig bestimmte Zahl aus [mm] \IR^{-}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, dormant,
> Ich habe das Gefühl, dass du dich vertan hast.
Soso?
Dann schau doch mal z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)
Was ich mit meinem Beispiel verdeutlichen wollte, ist, dass es automatisch "Schwierigkeiten" gibt, wenn man negative Radikanden bei Wurzeln zulässt.
Diese Schwierigkeiten kann man nur auf 2 Arten umgehen:
(1) entweder man lässt IN JEDEM FALL nur nicht-negative Radikanden zu (dieser Weg wird in der Schule gewählt! Drum hat auch Axxels Lehrer an dieser Stelle Recht!)
oder
(2) man lässt die Gleichheit
[mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = [mm] a^{\bruch{1}{n}} [/mm] nur für a [mm] \ge [/mm] 0 zu.
Einfach zu sagen:
"Na ist doch klar: [mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] = -2"
führt auf jeden Fall zu Problemen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Mi 01.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich gebe zu, dass man in der Schule Schwierigkeiten bekommt, wenn man zu viele Fragen stellt. Schule ist eben so - da werden die Sachen so weit vereinfacht, dass man den Stoff innerhalb von 40 min rübergebracht hat. Dabei hat man sich so weit von der Realität entfert, dass man sich fragt wozu das Ganze. Das ist aber eine ganz andere Frage of the f****** System.
Jetzt zur Mathe:
Es stimmt nicht, dass
[mm] x^{\bruch{p}{q}}=x^{\bruch{2p}{2q}}=\wurzel{(x^{\bruch{p}{q}})^{2}},
[/mm]
falls x kleiner Null ist.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, dormant,
> Hi!
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> Ich gebe zu, dass man in der Schule Schwierigkeiten
> bekommt, wenn man zu viele Fragen stellt. Schule ist eben
> so - da werden die Sachen so weit vereinfacht, dass man den
> Stoff innerhalb von 40 min rübergebracht hat. Dabei hat man
> sich so weit von der Realität entfernt, dass man sich fragt
> wozu das Ganze. Das ist aber eine ganz andere Frage of the
> f****** System.
>
> Jetzt zur Mathe:
>
> Es stimmt nicht, dass
>
> [mm]x^{\bruch{p}{q}}=x^{\bruch{2p}{2q}}=\wurzel{(x^{\bruch{p}{q}})^{2}},[/mm]
> falls x kleiner Null ist.
Darüber sind wir uns zumindest einig! Für x<0 gilt das nicht! Und GENAU DARAUF WOLLT ICH HINAUS, sonst NIXEN!
Ob man aber die Einschränkung nun schon vorher (also bei den Wurzeln) vornimmt - was übrigens nicht "Erfindung" der von Dir so arg gescholtenen Schule ist, sondern bereits in den DIN-Normen (DIN 1302) erwähnt wird - oder ob man's erst beim Gleichsetzen von Wurzeltermen mit Potenzen vornimmt, das ist Definitionssache!
Aber vieleicht gefällt Dir die Argumentation von Julius besser:
https://matheraum.de/read?i=122748
Nur ist die halt wirklich für die Schule nicht zu verwenden!
> Gruß,
> dormant
mfG!
Zwerglein
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