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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 So 05.08.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | Wieviele Menschen müssen sich zufällig treffen, damit man darauf wetten kann (also die Wahrscheinlichkeit größer als 0,5 ist), dass mindestens zwei davon denselben Geburtsmonat haben.
Es wird vorausgesetzt, dass jeder Monat mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Geburtsmonat in Frage kommt. |
Hallo Zusammen,
mein Ansatz zu der obigen Aufgabe lautet:
n ist gesucht
[mm] P(X\ge [/mm] 2) > 0,5
[mm] P(X\ge [/mm] 2) = [mm] 1-P(X\le [/mm] 1)
[mm] P(X\le [/mm] 1) = P(X=0) + P(X=1)
[mm] \Rightarrow [/mm] 1-[P(X=0) + P(X=1)] > 0,5
[mm] P(X=0)=\vektor{n \\ 0} \cdot (\bruch{1}{12})^{0} \cdot (\bruch{11}{12})^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\bruch{11}{12})^{n} [/mm] > 0,5
[mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] ln\bruch{11}{12} [/mm] > ln 0,5
[mm] \Rightarrow [/mm] n < [mm] \bruch{ln 0,5}{ln 0,917}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n < 7,97
[mm] \Rightarrow [/mm] n = 7
[mm] P(X=1)=\vektor{n \\ 1} \cdot (\bruch{1}{12})^{1} \cdot (\bruch{11}{12})^{n-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] P(X=1) = n [mm] \cdot \bruch{1}{12} \cdot (\bruch{11}{12})^{n-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{n}{12} \cdot (\bruch{11}{12})^{n-1} [/mm] > 0,5
Ab da komm ich leider nicht weiter.
Könnte mir da bitte vielleicht jemand weiter helfen???
Danke.
Steffy
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Hallo Steffy,
> Wieviele Menschen müssen sich zufällig treffen, damit man
> darauf wetten kann (also die Wahrscheinlichkeit größer als
> 0,5 ist), dass mindestens zwei davon denselben Geburtsmonat
> haben.
> Es wird vorausgesetzt, dass jeder Monat mit gleicher
> Wahrscheinlichkeit als Geburtsmonat in Frage kommt.
Ich denke hier handelt es sich um eine Form des ![[]](/images/popup.gif) Geburtstagsparadoxons. Jedoch mußt du bei der dortigen Rechnung überall mit 12 statt mit 365 rechnen.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 05.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
wenn ich mit der Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{36} [/mm] arbeite anstatt mit [mm] \bruch{1}{12}, [/mm] weiß ich leider trotzdem nicht so ganz, wie ich die letzte Gleichung nach n umstellen muss.
Könntest du mir da bitte vielleicht noch helfen???
Danke.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:35 So 05.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Steffy,
steht bei Dir eine WT-Prüfung an?
Aber zu Deiner Aufgabe:
Wenn sich zwei wildfremde Menschen unter den Bedingungen Deiner
Aufgabe begegnen, so beträgt
P[Geburtstag in verschiedenen [mm] Monaten]=\bruch{11}{12}
[/mm]
Wer dieses Experiment einige Male wiederholt stellt beim
k=8-ten Versuch fest, dass die Wahrscheinlichkeit dafür
jedes mal Pech gehabt zu haben <50% geworden ist:
P[8 mal Pech gehabt] = [mm] (11/12)^8 \approx [/mm] 0.499
Der Rest ist Kombinatorik: Wieviele Menschen n benötige ich,
damit ich obiges Spiel mit mindestens 8 verschiedenen Paarungen
spielen kann? Wie groß muss also n sein, damit
[mm]\vektor{n \\ 2} \ge 8[/mm] ?
Nach meiner Rechung sind
[mm]\vektor{4 \\ 2}=6[/mm] und [mm]\vektor{5 \\ 2}=10[/mm].
Demnach reichen n=5 Personen.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:43 So 05.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
ist das so offensichtlich, dass ich eine WT-Prüfung habe? 
Aber zu meiner Frage: Ist meine Vorgehensweise eigentlich falsch??
Wenn nach P(X [mm] \ge [/mm] 1) gefragt worden wäre, wäre die Aufgabe nicht schwierig. Mein Problem ist halt P(X=1) nach n umzustellen.
Gruß, Steffy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 05.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Servus Steffy!
Ja, Du zeigst gewisse Symptome...
Zu Deinem Ansatz: Ich muss gestehen, dass ich ihn nicht ganz
begreife. Ich hege aber die finstere Vermutung, dass Du einen
Denkfehler machst.
Zunächst einmal: Was genau beschreibt Deine Zufallsvariable X ?
Und dann: Wenn Du Dich fragst, ob eine Menge von n Menschen
ein Paar Menschen enthält, welches im selben Monat Ge-
burtstag hat, musst Du Ausdrücke der Form
[mm]\vektor{n \\ 2}[/mm]
betrachten (Anzahl der Paare die ungeordnet der Menge mit n
Menschen entnommen werden kann). Welchen Zweck ein Ausdruck
[mm]\vektor{n \\ 0}[/mm]
hat ist mir unklar.
Viele Grüße sendet
Markus-Hermann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 So 05.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
wir hatten mal eine Aufgabe, in der auch n gesucht war. Und ich dachte mir, dass ich dann einfach analog zu der Aufgabe vorgehe.
Die Aufgabe lautet:
"Wie viele Tiere müssen mindestens untersucht werden, um mit einer Sicherheit von mindestens 90% wenigstens ein infiziertes Tier zu entdecken. Es hatte sich herausgestellt, dass landesweit 4% der Tiere den Erreger in sich tragen."
n ist gesucht p=0,04 P(X [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \ge [/mm] 0,9
P(X [mm] \ge [/mm] 1)=1-P(X=0)
[mm] 1-P(X=0)\ge [/mm] 0,9
P(X=0) [mm] \le [/mm] 0,1
P(X=0)= [mm] \vektor{n \\ 0} \cdot 0,04^{0} \cdot 0,96^{n}
[/mm]
[mm] 0,96^{n} \le [/mm] 0,1
nln0,96 [mm] \le [/mm] ln0,1
n [mm] \ge \bruch{ln0,1}{ln0,96}
[/mm]
n [mm] \ge [/mm] 56,41
=> n=57
Steffy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 So 05.08.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Es gibt einen großen Unterschied zwischen den Aufgaben mit den infizierten Tieren und den Geburtstagen.
Die Wahrscheinlichkeit, ein infiziertes Tier zu erwischen, ist stets die Gleiche (ähnlich wie beim Würfeln oder Ziehung aus einer Urne mit Zurücklegen).
Bei der Geburtstags-Aufgabe wird dagegen die Wahrscheinlichkeit auf einen noch freien Geburtsmonat mit jedem Neuankömmling geringer (ähnlich wie beim Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mo 06.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo nochmal,
Deine zweite Aufgabe ist mit der Geburtstagsaufgabe nicht
vergleichbar!
Hier lautet die Frage (anders formuliert, aber es ist dieselbe)
Wie viele mal muss ich bei einem Spiel, welches ich mit 96% gewinne,
mindestens würfeln, damit ich mit Wahrscheinlichkeit 90% mindestens
einmal verliere.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Du bei "n mal ziehen" immer gewinnst
kannst Du leicht ausrechnen, wenn Du davon ausgehen darfst, dass
zwei Spiele stochastisch unabhängig voneinander sind:
[mm]
P[n\text{ mal nonstop gewonnen}] = 0.96^n
[/mm]
Nun ist die Grenze bei n=57 erreicht:
[mm]
0.96^{56} \approx 0.102
[/mm]
[mm]
0.96^{57} \approx 0.098
[/mm]
Und wenn die Wahrscheinlichkeit 57 mal nonstop zu gewinnen
(also 57 gesunde Tiere zu ziehen) bei 0.098 liegt, liegt die
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (wenigstens ein krankes
Tier zu ziehen) eben bei 0.902.
Der Unterschied zur Geburtstagsaufgabe: Grundsätzlich kannst Du
beliebig viele Tiere ziehen und immer nur gesunde Tiere
erwischen. Bei der Geburtstagsaufgabe ist spätestens bei n=13
Schluss, da hier, wie Rabi schon erkannte, die Monate ohne
zurücklegen gezogen werden.
Viele Grüße,
Markus-Hermann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 07.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:01 Mo 06.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Steffy,
ich hoffe, Du liest das nochmal! Ich habe in dem Artikel
ja völligen Blödsinn geschrieben!
Rabi ist der Sache schon auf die Spur gekommen. Seine Antwort
stimmt.
Viele Grüße
Markus-Hermann.
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Der erste Mensch hat in irgendeinem Monat Geburtstag.
Der zweite Mensch hat mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{11}{12} [/mm] nicht im gleichen Monat Geburtstag wie der erste.
Die Wahrscheinlichkeit, dass auch der Dritte einen anderen Geburtsmonat hat, ist [mm] \bruch{11}{12}*\bruch{10}{12}
[/mm]
Beim Vierten ist diese Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{11}{12}*\bruch{10}{12}*\bruch{9}{12}
[/mm]
Das ist etwa 0.57 - also noch größer als die 50:50 Chance
Sobald der Fünfte dazu kommt, liegt die Chance, dass keine 2 gleichen Geburtsmonate dabei sind, bei etwa 0.38
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mo 06.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Rabi,
danke fürs Korrekturlesen. Da habe ich einen Bock geschossen gehabt!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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