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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 15.08.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | [mm] $\IP [/mm] := [mm] \{2, 3, 5, ...\}$ [/mm] (Primzahlen)
Beweise:
$p [mm] \in \IP, [/mm] a [mm] \in \IN \wedge [/mm] a [mm] \notin \{n*p | n \in \IN \} [/mm] $, dann
[mm] $\alpha, \beta [/mm] in [mm] \IZ$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] * p + [mm] \beta [/mm] * a = 1$ |
Mein Beweis:
Da $a [mm] \notin \{n*p | n \in \IN \}$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] * p + [mm] \beta [/mm] * a = 1$ ist $n*p [mm] \not= [/mm] 1$, was gilt, da $1 [mm] \notin \IP$
[/mm]
In der Musterlösung steht man kann es über den größten gemeinsamen Teiler lösen, womit ich ein Problem habe, da dieser Satz selbst bis dahin noch nicht bewiesen wurde. Wäre man im Seminar dürfte man ihn dementsprechend auch nicht verwenden.
Ist mein Beweis richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Sa 15.08.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\IP := \{2, 3, 5, ...\}[/mm] (Primzahlen)
>
> Beweise:
> [mm]p \in \IP, a \in \IN \wedge a \notin \{n*p | n \in \IN \} [/mm],
> dann
> [mm]\alpha, \beta in \IZ[/mm] mit [mm]\alpha * p + \beta * a = 1[/mm]
> Mein
> Beweis:
> Da [mm]a \notin \{n*p | n \in \IN \}[/mm] und [mm]\alpha * p + \beta * a = 1[/mm]
> ist [mm]n*p \not= 1[/mm], was gilt, da [mm]1 \notin \IP[/mm]
>
> In der Musterlösung steht man kann es über den größten
> gemeinsamen Teiler lösen, womit ich ein Problem habe, da
> dieser Satz selbst bis dahin noch nicht bewiesen wurde.
> Wäre man im Seminar dürfte man ihn dementsprechend auch
> nicht verwenden.
>
> Ist mein Beweis richtig?
Hallo,
mit Sicherheit nicht.
[mm] \alpha [/mm] * p + [mm] \beta [/mm] * a = 1 ist ein Teil der zu beweisenden Behauptung.
Du verwendest genau diese Gleichung als Voraussetzung.
Was dieses n*p [mm] \not= [/mm] 1 widerlegen soll, ist vermutlich nicht mal dir klar.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 15.08.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Nun ich dachte mir es ginge über die Kontraposition zu beweisen, aber das scheint auch Probleme zu bereiten.
[mm] $\forall [/mm] p [mm] \in \IP [/mm] ~~ [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IN [/mm] : a [mm] \notin \{n*p | n \in \IN\} \Rightarrow \alpha*p [/mm] + [mm] \beta [/mm] * a = 1$
(soweit meine Formulierung, bestimmt auch schon falsch)
Mein Problem dabei ist nun es überhaupt zu beweisen, allein mit allgemeinen Rechenoperationen und logischen Symbolen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 15.08.2009 | | Autor: | cycore |
hi..
du hast die kontraposition doch garnicht formuliert?
dafür solltest du erstmal alle quantoren mit aufschreiben..
wenn ich dich richtig verstanden habe is die zu beweisende aussage:
[mm] \forall [/mm] p [mm] \in \IP [/mm] und [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IN [/mm] : p teilt a nicht [mm] \Rightarrow \exists\alpha,\beta\in\IZ [/mm] : [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] p = 1
und die kontraposition davon ist
Seien a [mm] \in \IN [/mm] und p [mm] \in \IP
[/mm]
[mm] \forall \alpha,\beta\in\IZ [/mm] : [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] p [mm] \not= [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] p teilt a
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 15.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das einfachste ist doch wirklich der Beweis mit ggT und dem euklidschen allg. dafuer.
Wenn ihr den nicht hattet, zeig das halt als erstes, das ist ja relativ einfach, oder steht in jedem Buch.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Sa 15.08.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\IP := \{2, 3, 5, ...\}[/mm] (Primzahlen)
>
> Beweise:
> [mm]p \in \IP, a \in \IN \wedge a \notin \{n*p | n \in \IN \} [/mm],
> dann
> [mm]\alpha, \beta in \IZ[/mm] mit [mm]\alpha * p + \beta * a = 1[/mm]
> Mein
> Beweis:
> Da [mm]a \notin \{n*p | n \in \IN \}[/mm] und [mm]\alpha * p + \beta * a = 1[/mm]
> ist [mm]n*p \not= 1[/mm], was gilt, da [mm]1 \notin \IP[/mm]
>
> In der Musterlösung steht man kann es über den größten
> gemeinsamen Teiler lösen, womit ich ein Problem habe, da
> dieser Satz selbst bis dahin noch nicht bewiesen wurde.
Hallo,
ich weiß nicht, wie deine Musterlösung aussieht. Das Problem ist aber in dem Moment gelöst, wenn du ein [mm] \beta [/mm] findest, für das [mm] \beta*a\equiv [/mm] 1 mod p gilt. Dann musst du nämlich von [mm] \beta*a [/mm] nur noch so viele p subtrahieren, bis tatsächlich 1 rauskommt (das entspricht der Addition von irgendeinem geeignetem [mm] \alpha*p). [/mm]
Dass es ein solches [mm] \beta [/mm] gibt, lässt sich sehr leicht zeigen. Die Zahlen 1*a, 2*a, 3*a, ... p*a lassen alle möglichen unterschiedliche Reste bei Teilung durch p (Warum?).
Also ist auch der Rest 1 dabei.
Gruß Abakus
> Wäre man im Seminar dürfte man ihn dementsprechend auch
> nicht verwenden.
>
> Ist mein Beweis richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Sa 15.08.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Die Musterlösung besagt, wenn das zu Beweisende gilt der größte gemeinsame Teiler von p und a gleich 1 ist und somit die Aussage aus dem Euklidischen Algorithmus folgt.
Aufgabe ist es aber den Beweis zu führen mit dem was man "schon kennt". Das wäre logische Operatoren, ein paar Relationen und +,*,-,/.
Modulo ist leider auch noch nicht definiert, insofern soll es nicht benutzt werden.
Am besten warte ich bis zum Vorbereitungskurs und frage wie es gehen soll ohne die Sachen. Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Die Musterlösung besagt, wenn das zu Beweisende gilt der
> größte gemeinsame Teiler von p und a gleich 1 ist und
> somit die Aussage aus dem Euklidischen Algorithmus folgt.
Ja, das ist das Lemma von Bezout...
> Aufgabe ist es aber den Beweis zu führen mit dem was man
> "schon kennt". Das wäre logische Operatoren, ein paar
> Relationen und +,*,-,/.
> Modulo ist leider auch noch nicht definiert, insofern soll
> es nicht benutzt werden.
Für diese ganzen Aussagen braucht man eigentlich nur zu wissen, wie die ganzen Zahlen in etwa aussehen, und wie man mit diesen rechnet... Oder benötigt man mehr als 30 sekunden um "modulo" zu "definieren"? Der euklidische Algorithmus ist natürlich etwas ganz und gar nicht triviales, aber es setzt keine Kenntnisse über irgendwas voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> [mm]\IP := \{2, 3, 5, ...\}[/mm] (Primzahlen)
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> Beweise:
> [mm]p \in \IP, a \in \IN \wedge a \notin \{n*p | n \in \IN \} [/mm],
> dann
> [mm]\alpha, \beta in \IZ[/mm] mit [mm]\alpha * p + \beta * a = 1[/mm]
Oh je, was ist das denn... Diese Aussage ist einfach nur ein spezialfall der lemma von bezout, aber mit vielen unnötigen Einschränkungen die alles nur unübersichtlicher machen.
Andererseits entspricht diese Aussage dem kleinen Satz von Fermat mit einem abgeschwächten Ergebnis. Der kleine Satz von fermat erlaubt ja diese koeffizienten direkt hinzuschreiben.
...es führen also viele Wege nach Rom.
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