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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für n x n - Matrizen A, B gilt:
[mm] e^{A} e^{B} [/mm] = [mm] e^{A+B} [/mm] und insbesondere [mm] (e^{A})^{-1} [/mm] = [mm] e^{-A}
[/mm]
Ist die Bedingung AB = BA notwendig?
(6 Punkte) |
Hallo,
leider habe ich überhaupt keine Ahnung, wie diese Aufgabe zu lösen ist. Alee anderen Aufgaben meines Übungsblattes konnte ich locker lösen doch die hier nicht. Wahrscheinlich stehe ich nur auf dem Schlauch, aber es wäre echt super, falls mir irgend jemand helfen könnte, da ich das Übungsblatt morgen abgeben muss, und ich die Punkte dringend brauche.
Unser Prof hat uns dann noch sowas angegeben, zur Hilfe, haha!
[mm] e^{A} [/mm] := [mm] \summe_{m=0}^{ \infty } \bruch{1}{m!} A^{m}
[/mm]
(= S [mm] diag(e^{ \lambda_{k}}) S^{-1}
[/mm]
[mm] S^{-1} [/mm] A S = D = [mm] \pmat{ \lambda_{1} & \\ & \lambda_{n} }
[/mm]
diag( [mm] e^{ \lambda_{k}} [/mm] = [mm] \pmat{ e^{ \lambda_{1}} & 0 \\ 0 & e^{ \lambda_{k} }}
[/mm]
Danke im Voraus
Gruß
Mario
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo Mario!
> Zeigen Sie, dass für n x n - Matrizen A, B gilt:
>
> [mm]e^{A} e^{B}[/mm] = [mm]e^{A+B}[/mm] und insbesondere [mm](e^{A})^{-1}[/mm] =
> [mm]e^{-A}[/mm]
>
> Ist die Bedingung AB = BA notwendig?
>
> Unser Prof hat uns dann noch sowas angegeben, zur Hilfe,
> haha!
>
> [mm]e^{A}[/mm] := [mm]\summe_{m=0}^{ \infty } \bruch{1}{m!} A^{m}[/mm]
> (=
> S [mm]diag(e^{ \lambda_{k}}) S^{-1}[/mm]
> [mm]S^{-1}[/mm] A S = D = [mm]\pmat{ \lambda_{1} & \\ & \lambda_{n} }[/mm]
>
> diag( [mm]e^{ \lambda_{k}}[/mm] = [mm]\pmat{ e^{ \lambda_{1}} & 0 \\ 0 & e^{ \lambda_{k} }}[/mm]
>
> Danke im Voraus
>
> Gruß
> Mario
>
Also dieser Hinweis mit der Diagonalmatrix geht natürlich nur, falls A auch wirklich diagonalisierbar ist, was ich hier nicht als vorausgesetzt sehe. Angenommen es ist A und B diagonalisierbar.
Dann ex. S und T sodass [mm] $SAS^{-1} [/mm] = [mm] D_1$ [/mm] und [mm] $TBT^{-1} [/mm] = [mm] D_2$ [/mm] gilt, mit [mm] $D_1$ [/mm] und [mm] $D_2$ [/mm] Matrizen in Diagonalgestallt.
Das ist äquivalent zu [mm] $S^{-1}D_1 [/mm] S=A$ und [mm] $T^{-1}D_2 [/mm] T= B$ (das sagt der Hinweis da aus)
Dann ist
[mm] e^A e^B= \summe_{m=0}^{ \infty } \bruch{1}{m!} A^{m} *\summe_{n=0}^{ \infty } \bruch{1}{n!} B^{n}=
\summe_{l=m+n=0}^{ \infty } \bruch{1}{l!} (A+B)^{l}[/mm] (Achtung! Diese Exponenten kann man nur zusammenfassen für AB=BA!!!)
Das zweite versuchst du vielleicht allein?
Gruß Micha 
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Hallo Micha,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Die Lösung war ja eigentlich gar nicht so schwer, und der Rest geht ja genauso.
Also, nochmals....
Vielen Dank
Gruß
Mario
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