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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 09.02.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Zur Bestimmung der NST [mm] x^{\*} [/mm] von [mm] e^x-1=0 [/mm] soll das Newton Verfahren verwendet werden.
(a) Gebe die Iterationsvorschrift an
(b) Zeige, dass das Verfahren für alle [mm] x_0 \in \R [/mm] konvergiert.
(c) Zeige, dass die Konvergenz für große [mm] x_0 [/mm] langsam im Sinne, dass [mm] |x-x^{\*}|ge [/mm] 1 für alle [mm] x_0\ge [/mm] n+1 gilt. |
Hallo,
zu (a) ist es einfach [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{n+1}=x_n-\bruch{e^{x_n}-1}{e^{x_n}}
[/mm]
das wäre doch alles zu (a), oder?
zu (b) weiß ich so garnicht was ich machen soll, kann mir jemand da helfen?
ich habe zu konvergenz der Newton-Verfahren anhand folgendes Beispiel gefunden. Da wurde zu der Fkt. [mm] f(x)=x^2 [/mm] die Iterationsfunktion angeben und [mm] x_0=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n^2}{2x_n}=\bruch{x_n^2}{2x_n} \rightarrow x_1=\bruch{1}{2}
[/mm]
dann wurde nur gesagt, dass das Newton Verfahren linear konvergiert. Aber wie zeige ich sowas explizit? Ich bin für jede hilfe dankbar.
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Hallo rsprsp,
> Zur Bestimmung der NST [mm]x^{\*}[/mm] von [mm]e^x-1=0[/mm] soll das Newton
> Verfahren verwendet werden.
>
> (a) Gebe die Iterationsvorschrift an
> (b) Zeige, dass das Verfahren für alle [mm]x_0 \in \R[/mm]
> konvergiert.
> (c) Zeige, dass die Konvergenz für große [mm]x_0[/mm] langsam im
> Sinne, dass [mm]|x-x^{\*}|ge[/mm] 1 für alle [mm]x_0\ge[/mm] n+1 gilt.
> Hallo,
>
> zu (a) ist es einfach [mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{n+1}=x_n-\bruch{e^{x_n}-1}{e^{x_n}}[/mm]
>
> das wäre doch alles zu (a), oder?
>
Ja.
> zu (b) weiß ich so garnicht was ich machen soll, kann mir
> jemand da helfen?
>
Zeige hier, daß der Betrag der Ableitung
der Iterationsfunktion stets kleiner 1 ist..
> ich habe zu konvergenz der Newton-Verfahren anhand
> folgendes Beispiel gefunden. Da wurde zu der Fkt. [mm]f(x)=x^2[/mm]
> die Iterationsfunktion angeben und [mm]x_0=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n^2}{2x_n}=\bruch{x_n^2}{2x_n} \rightarrow x_1=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> dann wurde nur gesagt, dass das Newton Verfahren linear
> konvergiert. Aber wie zeige ich sowas explizit? Ich bin
> für jede hilfe dankbar.
Weise nach,daß die Ableitung der Iterationsfunktion
[mm]x-\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm]
im Fixpunkt nicht verschwindet.
Gruss
MathePower.
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