nichtlineare dgl < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
tach an alle
schreibe gerade eine facharbeit über differentialgleichungen und habe diverse aufgaben zu lösen
nachdem ich alle aufgaben gelöst habe schaute ich mir die ergebnisse nochmal an und stellte fest dass sie nicht richtig waren
es handelte sich um nichtlineare differentialgleichungen, es muss also eine spezielle lösung für diese art von differentialgcihungen geben
kann mir da jemand helfen???
wie lautet die allgemeine lösung einer nichtlinearen differentialgleichung
danke schonmal im voraus
beispiel: f'(x)=x²[f(x)]²
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Mo 16.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> tach an alle
> schreibe gerade eine facharbeit über
> differentialgleichungen und habe diverse aufgaben zu lösen
> nachdem ich alle aufgaben gelöst habe schaute ich mir die
> ergebnisse nochmal an und stellte fest dass sie nicht
> richtig waren
Schreib doch mal, was du gemacht hast,und wir suchen deine Fehler!
> es handelte sich um nichtlineare differentialgleichungen,
> es muss also eine spezielle lösung für diese art von
> differentialgcihungen geben
> kann mir da jemand helfen???
Es gibt KEINE allgemeine Lösung für nichtlineare Dgl.!
> wie lautet die allgemeine lösung einer nichtlinearen
> differentialgleichung
> danke schonmal im voraus
> beispiel: f'(x)=x²[f(x)]²
hier [mm] hilft:\bruch{f'}{f^{2}}=x^{2} ->(\bruch{1}{f})' =x^{2} [/mm] und dann integrieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
erstmal danke an leduart
wie integriere ich denn dann
wenn ich zuerst den kehrwert bilde komme ich mit meiner anfangsbedingung f(0)= 0,5 nicht hin und wenn ich nach dem integrieren den kehrwert bilde genauso wenig
wie wird also hier denn integriert
danke schonmal wieder im voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo zinedine.rico,
zunächst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
$y' \ = \ [mm] x^2 [/mm] * [mm] y^2$ [/mm] $| \ : [mm] y^2 [/mm] \ [mm] \not=0$
[/mm]
[mm] $\bruch{y'}{y^2} [/mm] \ = \ [mm] x^2$
[/mm]
[mm] $\bruch{\bruch{dy}{dx}}{y^2} [/mm] \ = \ [mm] x^2$
[/mm]
[mm] $\bruch{dy}{y^2} [/mm] \ = \ [mm] x^2 [/mm] * dx$
[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{dy}{y^2}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {x^2 \ dx}$
[/mm]
[mm] $\integral_{}^{} {y^{-2} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {x^2 \ dx}$
[/mm]
Nun integrieren ...
Mit Deinem Anfangswert erhalte ich dann (bitte nachrechnen):
$y \ = \ - \ [mm] \bruch{3}{x^3-6}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
kann ich denn die konstante mit unter denselben bruchstrich setzen?, ich müsste doch eigentlich erhalten
[mm]f= \bruch{3}{x^3}+\bruch{1}{c}[/mm]
somit wäre für x=0 f nicht definiert oder habe ich etwas falsch gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> kann ich denn die konstante mit unter denselben bruchstrich
> setzen?, ich müsste doch eigentlich erhalten
> [mm]f= \bruch{3}{x^3}+\bruch{1}{c}[/mm]
> somit wäre für x=0 f nicht
> definiert oder habe ich etwas falsch gemacht?
Ja, da ist was falsch!
Nach dem Integrieren hatten wir doch erhalten
(siehe auch Zwerglein's Antwort) :
$- \ [mm] \bruch{1}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] c_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] + [mm] c_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3 + 3*c_1}{3}$
[/mm]
Nun auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen und ersetzen: $c \ := \ [mm] 3*c_1$
[/mm]
$- y \ = \ [mm] \bruch{3}{x^3 + c}$
[/mm]
$y \ = \ - \ [mm] \bruch{3}{x^3 + c}$
[/mm]
Nun Deinen Anfangswert einsetzen ...
Alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hi, Rico,
sieht ganz nach einer separierbaren Differentialgleichung aus!
Ich schreib' übrigens gleich y statt f(x), also:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] x^{2}*y^{2}
[/mm]
(1) Nehmen wir den Sonderfall vorweg:
y = 0 ist Lösung (wie leicht nachzuprüfen ist!)
(2) Jetzt also: y [mm] \not= [/mm] 0.
Umgeformt:
[mm] \bruch{1}{y^{2}}dy [/mm] = [mm] x^{2}dx
[/mm]
Integriert:
[mm] -y^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + [mm] c_{1}
[/mm]
Daraus: y = [mm] \bruch{1}{-c_{1} - \bruch{1}{3}x^{3}}
[/mm]
Zähler und Nenner mit 3 erweitern und statt [mm] -3c_{1}= [/mm] c schreiben:
y = [mm] \bruch{3}{c-x^{3}}
[/mm]
Definitionsmenge in Form von Intervallen angeben, je nachdem, welches c vorliegt, z.B. für c = 0: D = [mm] \IR^{+} [/mm] oder D = [mm] \IR^{-}.
[/mm]
(3) Anfangswertproblem laut Zusatzfrage: f(0) = 0,5.
Daraus ergibt sich durch Einsetzen: c = 6,
also: y = [mm] \bruch{3}{6-x^{3}}.
[/mm]
Die Nenner-Nullstelle liegt bei [mm] x=\wurzel[3]{6} (\approx [/mm] 1,817).
Da x=0 in der Definitionsmenge liegen muss (wegen der Vorgabe f(0) = 0,5), muss die Definitionsmenge ] [mm] -\infty [/mm] ; [mm] \wurzel[3]{6} [/mm] [ sein.
Oh, ich sehe grade: Loddar hat denselben Funktionsterm. Damit kannst Du nun sicher sein, dass alles OK ist!
|
|
|
|
