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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Imkeje |
| Aufgabe | Sei K ein kommutativer unitärer Ring, A eine K-Algebra, J ideal von A.
Man ziege:
Genau dann ist A nil, wenn J und J/A nil sind.
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Hallo,
ALso A ist nil, wenn jedes Elemnt von A nilpotent ist, d.h. für alle [mm] a\inA [/mm] existiert ein [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] a^n=0.
[/mm]
Wie kann ich nun zeigen,dass J und A/J nil sind?
Kann mir jemad helfen?
Imke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mo 21.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Imke,
> Sei K ein kommutativer unitärer Ring, A eine K-Algebra, J
> ideal von A.
> Man ziege:
> Genau dann ist A nil, wenn J und J/A nil sind.
>
> ALso A ist nil, wenn jedes Elemnt von A nilpotent ist,
> d.h. für alle [mm]a\inA[/mm] existiert ein [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]a^n=0.[/mm]
> Wie kann ich nun zeigen,dass J und A/J nil sind?
wenn $A$ nil ist, dann gilt fuer jedes $a [mm] \in [/mm] A$, dass [mm] $a^n [/mm] = 0$ ist fuer ein gross genuges $n$.
Da nun $J [mm] \subseteq [/mm] A$ ist, gilt das natuerlich auch fuer jedes Element aus $J$. Damit ist $J$ nil.
Und wenn $a + J [mm] \in [/mm] A/J$ ist, dann ist $(a + [mm] J)^n [/mm] = [mm] a^n [/mm] + J$, womit fuer gross genuges $n$ dies ebenfalls gleich $0 + J = J$ ist, also das neutrale Element in $A/J$. Damit ist $A/J$ auch nil.
Zur anderen Richtung: Dass $A/J$ nil ist bedeutet, dass es zu jedem $a [mm] \in [/mm] A$ ein [mm] $m_1$ [/mm] gibt mit $(a + [mm] J)^{m_1} [/mm] = J$, also [mm] $a^{m_1} \in [/mm] J$. Und das $J$ nil ist bedeutet es, dass es zu jedem $a' [mm] \in [/mm] J$ ein [mm] $m_2 \in \N$ [/mm] gibt mit [mm] $(a')^{m_2} [/mm] = 0$.
Jetzt setz die beiden Aussagen mal zusammen; dann bekommst du, dass auch $A$ nil ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Imkeje |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort. Kannst du mir nochmal erklären, wenn also [mm] a^n [/mm] das neutrale Element in A/J ist, das dann A/J nil ist, muss nicht (a + [mm] J)^n [/mm] = 0 sein?
Das verstehe ich nicht.
Lg Imke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mo 21.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Imke
> vielen Dank für deine Antwort. Kannst du mir nochmal
> erklären, wenn also [mm]a^n[/mm] das neutrale Element in A/J ist,
> das dann A/J nil ist, muss nicht (a + [mm]J)^n[/mm] = 0 sein?
Ja. Aber die 0 in $A/J$ ist ja gerade $J$. Also $(a + [mm] J)^n [/mm] = 0 [mm] \in [/mm] A/J$ bedeutet gerade, dass [mm] $a^n \in [/mm] J$ ist. Also per Definition.
LG Felix
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