nullmengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es soll untersucht werden, ob die folgenden Aussage wahr oder falsch sind und ein Beweis oder ein Gegenbeispiel angegeben werden.
a)Sind A,B [mm] \subset \IR^n [/mm] . Ist A eine Nullmenge und ist B abzählbar, so ist
A + B := {x + y| x [mm] \in [/mm] A und y [mm] \in [/mm] B} eine Nullmenge in [mm] \IR^n.
[/mm]
b) Eine Teilmenge A des [mm] \IR^n [/mm] ist eine Nullmenge, wenn sie keinen nichtleeren, offenen Quader enthält. |
Hallo,
vielleicht kann mir ja hier weiterhelfen. Ich habe generell noch einige Verständnisschwierigkeiten, was Nullmengen betrifft. Zunächst habe ich einmal ein paar allgemeine Fragen zu Nullmengen, die mir so eingefallen sind und die ich mir selber nicht zufriedenstellend beantworten kann (und von denen ich denke, dass sie mir weiterhelfen würden)
1) Gibt es eigentlich auch Nullmengen, welche überabzählbar sind?
2)Wenn, wie bei dieser Aufgabe a)gesagt wurde, dass es sich bei einer Menge um eine Nullmenge handelt, welche Folgerungen kann ich daraus noch für die Menge ziehen?
zu a) ich vermute, dass es sich bei A + B um eine Nullmenge handelt, weiß aber nicht wie ich das zeigen könnte?
zu b) Die Aussage wäre doch hier wiederlegt, wenn man eine Teilmenge A von [mm] \IR^n [/mm] finden könnte, die nur aus geschlossenen Quadern besteht, die aber trotzdem keine Nullmenge ist, oder?
Könnte so eine Teilmenge, die also nur aus geschlossenen Quadern besteht, welche aber trotzdem keine Nullmenge ist vielleicht einfach ein nicht entarteter, geschlossener Quader in [mm] \IR^n [/mm] sein. Im Falle von [mm] \IR^2 [/mm] also einfach eine abgeschlossenes Rechteck, bei dem die Länge der beiden Intervalle größer Null ist?
Vielleicht kann mir ja jemand meine Fragen beantworten bzw. mir Tipps bei den Aufgaben geben. Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
|
|
| |
|
Hallo,
kann mir denn keiner helfen. Ich komme einfach nicht wirklich weiter. Aber irgendwie hab ich wohl in bezug auf die Nullmengen noch ein Brett vor dem Kopf.
Mittlerweile habe ich allerdings immmerhin schon festgestellt, dass es wohl überabzählbare Nullmengen gibt, z.B die sogenannte Cantor Menge. Und wäre nicht eigentlich auch folgende Menge eine überabzählbare Nullmenge:
Wenn ich einen entarteten Quader in [mm] \IR^2 [/mm] habe, bei dem nur ein Intervall aus einem Punkt besteht. Dann ist dieser Quader ja definitiv eine Nullmenge, da das ja für alle entarteten Quader gilt. Ausserdem müsste die Menge der in dem Quader enthaltenen Punkte doch überabzählbar sein, da darin ja auch die irrationalen Zahlen enthalten sind. Ist das richtig so, oder habe ich einen Denkfehler gemacht???
|
|
|
| |
|
Hallo Schlumpfinchen,
dann wollen wir mal, ein bisschen Geduld hilft manchmal auch schon weiter 
Zur ersten Aufgabe, es gilt ja:
[mm]B = \{y_1,y_2,......\}[/mm]
Was weisst du über [mm]A + y_i[/mm] ?
Wie sieht das aus und wie kannst du daraus A + B geschickt darstellen?
Zur zweiten Aufgabe:
Du sollst ja zeigen: A enthält keinen nichtleeren offenen Quader [mm] \Longrightarrow [/mm] A ist Nullmenge.
Dazu stellen sich mir erstmal zwei Fragen:
Wie habt ihr Nullmenge denn überhaupt definiert, es gibt ja mehrere Definitionen (Jordan, Lesbeque bspw. und nicht alle sind äquivalent). Und wie habt ihr Quader definiert?
Davon hängt auch die Beantwortung deiner neuen Frage ab:
Feine Frage hast du dir mit der Cantor-Menge ja bereits selbst erarbeitet.
Die von dir beschrieben Menge ist natürlich eine Nullmenge, da es eine Hyperebene im [mm] R^2 [/mm] darstellt und Hyperebenen sind IMMER Nullmengen.
ABER ich würde sagen, es ist kein Quader, siehe dazu meine Frage oben.
Als Ansatz zur zweiten Teilaufgabe würde ich aber auf jedenfall mal versuchen, die Kontraposition zu beweisen
MfG,
Gono.
|
|
|
|
