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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Do 24.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Familie offener Mengen [mm] (U_k)_k \in [/mm] IN mit [mm] U_k.=(\bruch{1}{k},\bruch{2}{k}) [/mm] und eine Menge definiert als
i) M=(0,1),
ii) M=[0,1],
iii) [mm] M=[\varepsilon,1-\varepsilon]
[/mm]
Gibt es [mm] k_1,...,k_r \in \IN [/mm] so, dass M [mm] \subset U_k_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup U_k_r [/mm] ? Beweisen sie ihre Behauptung |
Hallo zusammen,
ich bin wie folgt an die aufgabe herangegangen:
zu i) ich habe für für k paar zahlen eingesetzt:
[mm] U_1 [/mm] =( 1, 2), [mm] U_2 [/mm] =( [mm] \bruch{1}{2},1), U_3=( \bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}), U_4=( \bruch{1}{4}, \bruch{1}{2}), U_5=( \bruch{1}{5}, \bruch{2}{5}),....
[/mm]
man sieht dass die Teilintervalle werden immer kleiner.
aber man erkennt auch das M in der Vereinigung der offenen Teilintervall liegt:
(0,1) [mm] \subset [/mm] (1,2) [mm] \cup [/mm] ( [mm] \bruch{1}{2},1) \cup [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}) \cup.....
[/mm]
zu ii) liegt nicht in der Vereinigung der Teilintervalle, da man mit den offenen teilintervalle nicht die randpunkt von M erreicht.
zu iii) M ist teilmenge der vereinigung der offenen teilintervalle.
die obere grenze von M ist positv, wegen 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und somit für 1- [mm] \varepsilon [/mm] immer positiv ist. ich habe dann eine bel. [mm] \varepsilon [/mm] gewählt z.B. [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und erhalte dann
[mm] M=[\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}] [/mm] und M würde schon in [mm] U_1 [/mm] liegen, alos auch in der Vereinigung der offenen Teilintervalle. und das gilt für alle [mm] \varepsilon [/mm] da 0< [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
stimmt es was ich mir da überlegt habe? falls ja, würde es schon als Beweis ausreichen? danke schön im voraus.
gruß,
mimo1
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Hi,
> Gegeben sei die Familie offener Mengen [mm](U_k)_k \in[/mm] IN mit
> [mm]U_k.=(\bruch{1}{k},\bruch{2}{k})[/mm] und eine Menge definiert
> als
>
> i) M=(0,1),
> ii) M=[0,1],
> iii) [mm]M=[\varepsilon,1-\varepsilon][/mm]
>
> Gibt es [mm]k_1,...,k_r \in \IN[/mm] so, dass M [mm]\subset U_k_1 \cup[/mm]
> ... [mm]\cup U_k_r[/mm] ? Beweisen sie ihre Behauptung
Nicht schön. Also mit ner Klammer, macht das mehr Sinn:
[mm] M\subset(U_{k_1}\cup\ldots\cup{U_{k_r}})
[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich bin wie folgt an die aufgabe herangegangen:
>
> zu i) ich habe für für k paar zahlen eingesetzt:
>
> [mm]U_1[/mm] =( 1, 2), [mm]U_2[/mm] =( [mm]\bruch{1}{2},1), U_3=( \bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}), U_4=( \bruch{1}{4}, \bruch{1}{2}), U_5=( \bruch{1}{5}, \bruch{2}{5}),....[/mm]
>
> man sieht dass die Teilintervalle werden immer kleiner.
>
> aber man erkennt auch das M in der Vereinigung der offenen
> Teilintervall liegt:
>
> (0,1) [mm]\subset[/mm] (1,2) [mm]\cup[/mm] ( [mm]\bruch{1}{2},1) \cup[/mm] (
> [mm]\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}) \cup.....[/mm]
Ja?
Bedenke, dass du nur endlich viele [mm] U_k [/mm] vereinigst. Die Frage ist also, ob es ein [mm] r\in\IN [/mm] gibt, so dass
[mm] M\subset\bigcup_{k=1}^rU_k
[/mm]
>
> zu ii) liegt nicht in der Vereinigung der Teilintervalle,
> da man mit den offenen teilintervalle nicht die randpunkt
> von M erreicht.
ich sag mal so: Wenn das ganze für M aus i) nicht gilt, dann ist das für ii) erst Recht nicht der Fall.
>
> zu iii) M ist teilmenge der vereinigung der offenen
> teilintervalle.
>
> die obere grenze von M ist positv, wegen 0 < [mm]\varepsilon[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und somit für 1- [mm]\varepsilon[/mm] immer positiv
> ist. ich habe dann eine bel. [mm]\varepsilon[/mm] gewählt z.B.
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] und erhalte dann
> [mm]M=[\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}][/mm] und M würde schon in [mm]U_1[/mm]
> liegen, alos auch in der Vereinigung der offenen
> Teilintervalle. und das gilt für alle [mm]\varepsilon[/mm] da 0<
> [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
Du darfst dein [mm] \epsilon [/mm] nicht fest wählen, sondern musst es immer variabel lassen.
Finde ein [mm] r(\epsilon), [/mm] sodass M in der Vereinigung enthalten ist.
(Erinnere dich an Folgen - da hast du auch ein [mm] n_0(\epsilon) [/mm] gesucht, damit die Folge [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0. [/mm] Das Prinzip ist hier ähnlich.)
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> stimmt es was ich mir da überlegt habe? falls ja, würde
> es schon als Beweis ausreichen? danke schön im voraus.
>
> gruß,
> mimo1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 25.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich habe zu iii) vergessen zu erwähnen dass noch vorausgesetzt wurde:
M=[ [mm] \varepsilon, [/mm] 1- [mm] \varepsilon], [/mm] mit beliebig aber festen 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
ist dann meine idee zu iii) dann richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein du musst für ein beliebiges [mm] \epsilon [/mm] ein k angeben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 27.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
hallo,
und ich hoffe jemand kann mir etwas sagen, ob meine überlegung zu ii) richtig ist:
aus der vorlesung: Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung [mm] \!\ (U_i)_i\in [/mm] I von A endlich viele Indizes [mm] \!\ i_1,...i_k \in [/mm] I gibt, so dass
[mm] \!\ [/mm] A [mm] \subset U_{i_1} \cup U_{i_2} \cup [/mm] ... [mm] \cup U_{i_k}
[/mm]
da M=[0,1] kompt, folgt es dann schon? es würde zwar gelten, aber der randpkt 0 vom intervall wir nicht angenommen.
kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dieser Satz nützt dir nichts, weil du keine endlich vielen deiner [mm] U_k [/mm] angeben kannst, die M überdecken.
du fragst folgt "es" dann schon, was ist 'es"?
mache zuerst i, dann folgt ii direkt.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 27.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
zu i) habe ich folgende:
M=(0,1) habe keine endl. [mm] K_1,...,k_r [/mm] ,da es kein r [mm] \in [/mm] IN ex. s.d gilt
[mm] \bigcup_{i=1}^{r}U_k_i \supseteq [/mm] (0,1)
ist es richtig? vielen vielen dank für deine hilfe und schnelle antwort.
gruß, mimo1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst das noch etwas genauer begründen, es gibt kein endliches k so dass 1/k beliebig nahe an 0 kommt.
sonst richtig.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:57 So 27.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
hallo leduart,
nochmals vielen vielen dank.
jetzt habe ich noch eine frage zu iii) : ex für M auch keine endl Teilüberdeckung? ich habe mal möglichst kleine [mm] \varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon=1/n, [/mm] dann sieht man für
[mm] \bigcup_{i=1}^{n} U_k_n= [/mm] (1,2) [mm] \cup (1/2,1)\cup...\cup(1/n,2/n) [/mm] mit n [mm] \in\IN [/mm] das für M=[1/n,1-1/n] für der randpunkt 1/n nicht angenommen wird und nicht, daher ex. keine endl. Teilüberdeckung.
ist es richtig? ich hoffe ich mach dir keine umstände.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 29.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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