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Ich habe den Vektor [mm] \overrightarrow{v} \in [/mm] R² mit [mm] \overrightarrow{3;4}
[/mm]
Ich soll alle orthogonalen Matrizen A mit [mm] A\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} [/mm] bestimmen.
Bräuchte einen Tipp, wie ich anfange....
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Hallo!
Ein naiver Ansatz wäre folgender: [mm] $\pmat{a & b \\ c & d} \vektor{3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4}$.
[/mm]
Damit erhälst du ja ein Gleichungssystem. Nun musst du durch zusätzliche Bedingungen garantieren, dass die Matrix auch noch orthogonal ist.
Da gibt es jetzt mehrere Möglichkeiten, je nachdem was du von orth. Matrizen weißt.
Falls dir Diagonalisieren einer Matrix etwas sagt, gibt es noch elegantere Möglichkeiten:
Du könntest dir auch überlegen, welche geom. Interpretation mögliche Lösungen haben, das geht hier ja gut.
Gruß,
Stephan
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die bedingungen wären ja zum beispiel: det A = 1 und die einzigen reellen Eigenwerte sind +/- 1 !
eine lösung ist doch die einheitsmatrix oder?
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Hallo Stefan!
Die Determinante könnte auch den Wert -1 annehmen. Mehr Möglichkeiten gibt es aber nicht  . Die Forderung an die Eigenwerte stimmt!
Eine Lösung ist die Einheitsmatrix, damit hast du völlig Recht (doppelter Eigenwert 1). Welche Eigenwerte hat der zweite Fall?
Gruß!
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mmmhh genau da sist mein problem, komme auf keine 2 te matrix!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mi 09.04.2008 | | Autor: | subclasser |
Hallo!
Vielleicht reden wir ja auch aneinander vorbei. Welche Eigenschaften kennst du denn von orthogonalen Matrizen?
Sagt dir diagonalisierbar und besonders unitär diagonalsierbar etwas?
Gruß!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Mi 09.04.2008 | | Autor: | ford-club |
sagt mit leider gar nichts !
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Hallo,
wenn Du mit all dem nichts anfagen kannst, dann verfolge doch den Ansatz, den Dir subclasser in seinem ersten Post gesagt hat.
Überlege Dir, was orthogonale Matrix für die beiden Spalten bedeutet, daraus hast Du weitere Bedingungen an a,b,c,d.
Dann löst Du das Gleichungssystem.
Gruß v. Angela
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