orthogonale Projektion < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Di 06.05.2014 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Folgende Aussage:
Sei U [mm] \subset C^{n} [/mm] ein Unterraum, seien [mm] (u_1, [/mm] ..., [mm] u_k) [/mm] und [mm] (w_1,..., w_{n-k}) [/mm] Basen von U bzw. U(orthogonal). Sei [mm] x=\summe_{i=1}^{k} \lambda_i u_i+ \summe_{j=1}^{n-r}\mu_j w_j. [/mm] Dann ist u= [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_i u_i [/mm] die orthognonale Projektion von x auf U.
Die aussage ist richtig. Begründung:
Setzt u = [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_i u_i. [/mm] Da [mm] u_i \in [/mm] U, ist auch u [mm] \in [/mm] U. Andererseits ist x-u = [mm] \summe_{j=1}^{r+1} \mu_j w_j \in [/mm] U(orthogonal), weil [mm] w_j \in [/mm] U(orthogonal). Damit ist x die orthogonale Projektion von x auf U.
Mir ist nicht klar, woher die r kommen, bzw. wie deren zusammenhang sein soll. Wie kommt man auf: [mm] \summe_{j=1}^{r+1} \mu_j w_j? [/mm] Die [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_i u_i [/mm] heben sich auf, aber wie kommt man dann auf diese Summe?
lg und danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Mi 07.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Folgende Aussage:
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> Sei U [mm]\subset C^{n}[/mm] ein Unterraum, seien [mm](u_1,[/mm] ..., [mm]u_k)[/mm]
> und [mm](w_1,..., w_{n-k})[/mm] Basen von U bzw. U(orthogonal). Sei
> [mm]x=\summe_{i=1}^{k} \lambda_i u_i+ \summe_{j=1}^{n-r}\mu_j w_j.[/mm]
Die 2.Summe muss so lauten: [mm] \summe_{j=1}^{n-k}\mu_j w_j.
[/mm]
> Dann ist u= [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i u_i[/mm] die orthognonale
> Projektion von x auf U.
>
> Die aussage ist richtig. Begründung:
> Setzt u = [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i u_i.[/mm] Da [mm]u_i \in[/mm] U,
> ist auch u [mm]\in[/mm] U. Andererseits ist x-u = [mm]\summe_{j=1}^{r+1} \mu_j w_j \in[/mm]
> U(orthogonal),
Richtig lautet das so:
$x-u = [mm] \summe_{j=1}^{n-k} \mu_j w_j \in [/mm] U [mm] ^{\perp}$
[/mm]
> weil [mm]w_j \in[/mm] U(orthogonal). Damit ist x die
> orthogonale Projektion von x auf U.
Nein, sondern: .... Damit ist u die orthogonale Projektion von x auf U.
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>
> Mir ist nicht klar, woher die r kommen, bzw. wie deren
> zusammenhang sein soll. Wie kommt man auf:
> [mm]\summe_{j=1}^{r+1} \mu_j w_j?[/mm] Die [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i u_i[/mm]
> heben sich auf, aber wie kommt man dann auf diese Summe?
Siehe oben: Schreibfehler.
FRED
>
> lg und danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Mi 07.05.2014 | | Autor: | nero08 |
danke!
so ist logisch! :)
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