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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:22 Fr 13.04.2012 | | Autor: | imagemixer |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Orthogonalprojektion [mm] v_0 [/mm] des Punktes w = (1, 1, 1, [mm] 1)\in\IR^4 [/mm] in den affinen
Unterraum
V : x1 − x2 + x3 + x4 = −14, x1 + x2 − x3 + x4 = 6 . |
Hallo zusammen, hab eine Frage zu dieser Aufgabe. Die habe ich versucht zu lösen, indem ich eine Basis gefunden habe [mm] (\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}). [/mm] Dann habe ich eine Orthogonalbasis dazu gefunden (Gram-Schmidt) : [mm] (\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}).
[/mm]
Zum Schluss hatte ich halt noch mit der Formel für die Orthogonalprojektion, die Skalare ausgerechnet. Letztendlich komme ich auf das Ergebnis, dass der Punkt w auf (0,0,0,0) projiziert wird.
Ich bin aber skeptisch. Wie kann ich bei solchen Aufgaben (wenn überhaupt) überprüfen, ob mein Ergebnis stimmt ? Stimmt das Ergebniss denn in diesem Falle ?
Besten Dank und viele Grüße
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen, denn Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Orthogonalprojektion [mm]v_0[/mm] des Punktes w =
> (1, 1, 1, [mm]1)\in\IR^4[/mm] in den affinen
> Unterraum
> V : x1 − x2 + x3 + x4 = −14, x1 + x2 − x3 + x4 = 6
> .
> Hallo zusammen, hab eine Frage zu dieser Aufgabe. Die habe
> ich versucht zu lösen, indem ich eine Basis gefunden habe
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es wäre ganz günstig, würdest Du sagen, wovon Du eine Basis gefunden hast... Ich nehme mal an, von V.
> [mm](\begin{pmatrix} 0\\
1 \\
1 \\
0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\
0 \\
0 \\
1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\
10 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}).[/mm]
Das soll eine affine Punktbasis von V sein?
Irgendwie kann das nicht stimmen, denn die ersten beiden lösen das LGS, welches V bestimmt, ja gar nicht!
Richtig ist allerdings, daß
[mm] $V=\{\begin{pmatrix} -4 \\
10 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} -1 \\
0 \\
0 \\
1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} 0\\
1 \\
1 \\
0 \end{pmatrix}|\lambda, \mu \in \IR\}$.
[/mm]
Vielleicht meintest Du so etwas.
Ich hab' leider im Moment nicht die Zeit, mich weitergehend mit der Aufgabe zu beschäftigen.
LG Angela
> Dann habe ich eine Orthogonalbasis dazu gefunden
> (Gram-Schmidt) : [mm](\begin{pmatrix} 0\\
1 \\
1 \\
0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\
0 \\
0 \\
1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\
5 \\
-5 \\
-2 \end{pmatrix}).[/mm]
>
> Zum Schluss hatte ich halt noch mit der Formel für die
> Orthogonalprojektion, die Skalare ausgerechnet.
> Letztendlich komme ich auf das Ergebnis, dass der Punkt w
> auf (0,0,0,0) projiziert wird.
> Ich bin aber skeptisch. Wie kann ich bei solchen Aufgaben
> (wenn überhaupt) überprüfen, ob mein Ergebnis stimmt ?
> Stimmt das Ergebniss denn in diesem Falle ?
>
> Besten Dank und viele Grüße
> Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen, denn Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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Hallo,
danke erstmal für die Antwort und Hinweise. Ich meinte das höchstwahrscheinlich mit [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] , aber mir ist bei der Basis halt noch nicht ganz klar,wie man das ganze sachgemäß schreibt. Nachdem man jetzt die V so hat, wie du es beschrieben hast, ändert sich ja im weiteren Verfahren trotzdem nichts. Habe ich das richtig gemacht, dass ich das per Gram-Schmidt orthogonalisiert habe ?
Die Formel für die Orthogonalprojektion, die ich angewandt habe, lautet:
[mm] v_0=\summe_{i=1}^{n}\bruch{}{||v_i||^2}\*v_i [/mm] , wobei
[mm] v_0 [/mm] die Orthogonalprojektion
w=(1,1,1,1) der Punkt, der projiziert werden soll
und [mm] v_i [/mm] der Basis bzw. [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] die drei Basisvektoren sind.
Danke nochmal.
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> Hallo,
> danke erstmal für die Antwort und Hinweise. Ich meinte
> das höchstwahrscheinlich mit [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] ,
Hallo,
so ist die Sache von vornherein zum Scheitern verurteilt.
Man sollte schon wissen, was man meint, sonst kann es einfach nicht funktionieren.
> aber mir
> ist bei der Basis halt noch nicht ganz klar,wie man das
> ganze sachgemäß schreibt.
Da ich Deine Vorlesung nicht kenne, kann ich Dir das auch schlecht sagen.
Mir ist ja auch überhaupt nicht klar, ob erstens "affine Basis" überhaupt dran war und Du zweitens mit ihr arbeiten möchtest/sollst.
> Nachdem man jetzt die V so hat,
> wie du es beschrieben hast,
ein zweidimensionaler affiner UR des [mm] \IR^4
[/mm]
> ändert sich ja im weiteren
> Verfahren trotzdem nichts.
> Habe ich das richtig gemacht,
> dass ich das per Gram-Schmidt orthogonalisiert habe ?
Nein.
Mit Gram-Schmidt orthogonalisiert man Basen von (Unter)Vektorräumen.
Du hast aber nicht einen dreidimensionalen UVR des [mm] \IR^4 [/mm] vorliegen, sondern einen zweidimensionalen affinen Unterraum.
Der Raum auf welchen Du projizieren sollst, ist doch der Raum, den man bekommt, wenn man den von [mm] \begin{pmatrix} 0\\
1 \\
1 \\
0 \end{pmatrix}und \begin{pmatrix} -1 \\
0 \\
0 \\
1 \end{pmatrix} [/mm] Untervektorraum um [mm] \vektor{-4\\10\\0\\0} [/mm] verschiebt.
Ich möchte auf das, was Du getan hast, nicht weiter eingehen, sondern einen eigenen Lösungsvorschlag machen:
das Problem ist hier, daß hier auf einen affinen Raum projiziert werden soll.
Du kannst also nicht einfach irgendwelche Förmelchen, die mal für Vektorräume aufschrieben wurden, einfach so verwenden, als wäre nichts.
Ich würde das ganze Problem mal so verschieben, daß der affine Unterraum, auf den man projiziert, durch den Nullpunkt geht, also ein UVR des [mm] \IR^4 [/mm] ist, dh. das ganze Problem wird mal um [mm] \vektor{4\\-10\\0\\0} [/mm] verschoben.
Berechne nun mit dem, was Du für Vektorräume gelernt hast, die Projektion des verschobenen Punktes auf den verschobenen 2-dimensionalen Unterraum.
Also: Basis des zweidimensionalen UVRes zu einer des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen, orthogonalisieren, projizieren.
Wenn Du das Ergebnis hast, verschiebst Du wieder zurück, also um [mm] \vektor{-4\\10\\0\\0}.
[/mm]
LG Angela
> Die Formel für die Orthogonalprojektion, die ich
> angewandt habe, lautet:
> [mm]v_0=\summe_{i=1}^{n}\bruch{}{||v_i||^2}\*v_i[/mm] ,
> wobei
> [mm]v_0[/mm] die Orthogonalprojektion
> w=(1,1,1,1) der Punkt, der projiziert werden soll
> und [mm]v_i[/mm] der Basis bzw. [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] die drei Basisvektoren
> sind.
>
> Danke nochmal.
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Wie geht das denn mit "Vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen" ?
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> Wie geht das denn mit "Vektoren zu einer Basis des [mm]\IR^4[/mm]
> ergänzen" ?
Hallo,
irgendetwas scheint mit den Angaben in Deinem Profil nicht zustimmen...
Nun, ich sage nicht, daß es die eleganteste Methode ist, aber im prinzip kannst Du es so versuchen:
Du nimmst die beiden Basisvektoren, ergänzt durch zwei Vektoren, die Du Dir ausgedacht hast und prüfst, ob die 4 Vektoren linear unabhängig sind.
Wenn ja freust Du Dich, wenn nein, versuchst Du's mit den nächsten beiden.
Oder Du nutzt den Basisaustauschsatz: der garantiert Dir, daß Du in der Standardbasis des [mm] \IR^4 [/mm] zwei Vektoren gegen die beiden UR-Basisvektoren austauschen kannst, Du mußt nur noch herausfinden, welche. Entweder experimentierend, oder indem Du die Basisvektoren als Spalten in eine matrix legst, auf Zeilenstufenform bringst und guckst, mit welchen Einheitsvektoren Du ergänzen mußt, um den Rang 4 zu bekommen.
LG Angela
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[i]Du nimmst die beiden Basisvektoren,[i]
Wie lauten denn jetzt die beiden Basisvektoren. Meine waren ja falsch. Muss ich [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] noch mit [mm] \lambda [/mm] multiplizieren, damit es eine basis wird ?
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> Du nimmst die beiden Basisvektoren,
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> Wie lauten denn jetzt die beiden Basisvektoren. Meine waren
> [i]ja falsch. Muss ich [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1 \\
0}[/mm] noch mit [/i]
> [mm]\lambda[/mm] multiplizieren, damit es eine basis wird ?
Hallo,
kann es sein, daß Du bar jeglicher Grundlagen bist?
Das ist nicht so gut...
Was studierst Du denn?
Wie weit bist Du denn jetzt mit den Überlegungen gekommen?
Wir hatten ja festgestellt:
[mm] $V=\{\begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}|\lambda, \mu \in \IR\}$. [/mm]
Mein Vorschlag war ja, obigen Menge und den zu projizierendem Punkt, vorerst so zu verschieben, daß die neue Menge V' ein Untervektorraum des [mm] \IR^4 [/mm] ist, also durch den Nullpunkt geht.
Hast Du das bereits getan?
Wie lautet V'?
Welche Vektoren erzeugen V'? Sind sie linear unabhängig?
Wenn ja, dann sind sie eine Basis von V'. (Es sind 2).
LG Angela
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Berechne nun mit dem, was Du für Vektorräume gelernt hast, die Projektion des verschobenen Punktes auf den verschobenen 2-dimensionalen Unterraum.
Also: Basis des zweidimensionalen UVRes zu einer des $ [mm] \IR^4 [/mm] $ ergänzen, orthogonalisieren, projizieren.
Zum projizieren kann ich aber die genannte Formel [mm] v_0=\summe_{i=1}^{n}... [/mm] benutzen oder wie habe ich das zu verstehen ?
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> Berechne nun mit dem, was Du für Vektorräume gelernt
> hast, die Projektion des verschobenen Punktes auf den
> verschobenen 2-dimensionalen Unterraum.
> Also: Basis des zweidimensionalen UVRes zu einer des [mm]\IR^4[/mm]
> ergänzen, orthogonalisieren, projizieren.
>
> Zum projizieren kann ich aber die genannte Formel
> [mm]v_0=\summe_{i=1}^{n}...[/mm]
Hallo,
wo's ernst wird, machst Du drei Pünktchen?
Warum schreibst Du die nicht hin?
Du willst also mit der Formel arbeiten - mein eigentlicher Plan war ein anderer (elementarer), aber wir sind ja fexibel!
Ja, wenn die Formel dann vollständig ist und Du das Passende einsetzt, kannst Du sie nehmen.
LG Angela
> benutzen oder wie habe ich das zu
> verstehen ?
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