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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Fr 30.06.2006 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | Sei p [mm] \in \IZ [/mm] eine Primzahl. Sei U:= <u,v,w> [mm] \subset \IZ^3, [/mm] wobei
u:= [mm] (p^2, p^2, p^2)
[/mm]
v:= [mm] (p^2, p^2+p, p^2+p)
[/mm]
w:= [mm] (p^2, p^2+p, p^2+2p)
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \IZ^3 [/mm] / U eine p-Gruppe ist. |
Der Prof hat uns den Tipp gegeben, die Vektoren als Matrix zu diagonalisieren.
Bei mir hat sich dann folgendes ergeben:
p* [mm] \pmat{ p & 0 &0\\ 0 & -1 &-1\\0 &0 &1 }
[/mm]
Also drei unabhängige Vektoren.
Aber jetz weiß ich nicht, wie ich hier weitermachen soll.
Er hat noch dazu gesagt, dass man die Vektoren als Kombination einer trivialen Basis des [mm] \IZ^3 [/mm] schreiben soll. und die Vorfaktoren ergeben dann ein Produkt von zyklischen p- Gruppen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem ist, wie sieht [mm] \IZ^3/U [/mm] überhaupt aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei p [mm]\in \IZ[/mm] eine Primzahl. Sei U:= <u,v,w> [mm]\subset \IZ^3,[/mm]
> wobei
> u:= [mm](p^2, p^2, p^2)[/mm]
> v:= [mm](p^2, p^2+p, p^2+p)[/mm]
> w:= [mm](p^2, p^2+p, p^2+2p)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\IZ^3[/mm] / U eine p-Gruppe ist.
Eine p-Gruppe ist eine Gruppe, in der die Ordnung jedes Elementes eine Potenz von p ist, bei euch auch? (Bei endlichen Gruppen ist das genau dann so, wenn die Gruppenordnung eine Potenz von p ist.)
Ich zeige jetzt: Für ein beliebiges (a,b,c) [mm] \in \IZ^{3} [/mm] ist [mm] p^{2}*(a,b,c) \in [/mm] U.
Eigentlich kannst du das auch zeigen, das ist wie in der linearen Algebra.
Gruß aus Hh-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Sa 01.07.2006 | | Autor: | ck2000 |
Das kann ich zeigen, indem ich jeden Vektor aus [mm] \IZ^3 [/mm] als Linearkombination von diesen dreien darstellen kann.
Aber warum [mm] p^2*(a,b,c)?
[/mm]
Woher kommt das [mm] p^2?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Wenn mit [mm] $(a,b,c)\in\IZ^3$ [/mm] stets [mm] $p^2\cdot (a,b,c)\in [/mm] U$ gilt, dann ist die Ordnung von $[(a,b,c)]$ in [mm] $\IZ^3/U$ [/mm] ein Teiler von [mm] $p^2$ [/mm] und daher eine $p$-Potenz. Daraus folgte bereits, dass [mm] $\IZ^3/U$ [/mm] eine $p$-Gruppe ist.
Würde die Aussage mit $p$ als Vorfaktor gelten, so wäre das ebenfalls hinreichend, ebenso für jeden Vorfaktor der Form [mm] $p^k$. [/mm] In diesem Falle ist aber $k=2$ der kleinste Exponent, für den die obige Implikation richtig ist.
Du kannst nun [mm] $p^2\cdot (a,b,c)\in [/mm] U$ direkt bzgl. der Standardbasis zeigen, oder mit Hilfe der von dir bestimmten ähnlichen Matrix. Schließlich bedeutet die Ähnlichkeit der Matrizen lediglich eine Basistransformation. Willst du zeigen, dass stets [mm] $p^2\cdot (a,b,c)\in [/mm] U$ gilt, ist es irrelevant, bzgl. welcher Basis du $(a,b,c)$ darstellst.
Du musst also versuchen, für [mm] $(a,b,c)\in \IZ^3$ [/mm] eine Lösung der Gleichung
[mm] $\pmat{p^2 & p^2 & p^2 \\ p^2 & p^2 +1 & p^2 + 1 \\ p^2 & p^2+1 & p^2+2}\vektor{x\\y\\z}=p^2\vektor{a\\ b\\ c}$
[/mm]
oder alternativ
[mm] $p\cdot \pmat{p & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1}\vektor{x\\ y\\ z}=p^2\vektor{a\\ b\\ c}$
[/mm]
zu finden.
Liebe Grüße,
Hanno
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