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hallo,
ich habe hier mal eine Aufgabe inklusive Lösung, die mir etwas schleierhaft ist:
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
1) Nach dem zweiten kleiner-gleich-Zeichen wird das [mm] x_{i} [/mm] ja durch ein x ersetzt und der Index aus der Summenformel verschwindet. Komischerweise wird dann [mm] \wurzel{n} [/mm] daraus, was ja [mm] \summe_{i=1}^{n}1 [/mm] entspräche. Aber wo kommt das her?
2) Woher weiß man direkt, dass die 3. Ungleichung gilt (also die nach dem 'und')
Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Infostudent,
Schaue dir mal die Materialien-Seite des Numerik-Forums an. Dort findest du die "Weisheiten der Numerik", wo es u.a. einen Beweis rund um diese ganzen Normen-Geschichten gibt.
Viele Grüße
Karl
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Hallo,
ich würde sagen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n} \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 = n [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p.
[/mm]
Die zweite Ungleichung gilt, da
n [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p \leq \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p \leq \frac{1}{n} \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p \leq \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p
[/mm]
Alles klar?
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Fast, bin jedenfalls schon ein gutes Stück weiter ;)
Nur aus [mm] \wurzel[p]{\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}} \le \wurzel[p]{n} \parallel [/mm] x [mm] \parallel _{\infty}
[/mm]
folgt doch wenn ich auf beiden Seiten ^p mache
n [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p \ge \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p [/mm] und das wäre ja genau umgekehrt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mo 03.09.2007 | | Autor: | nick_twisp |
Du hast völlig recht. Ich war nicht bei klarem Verstand, als ich die Ungleichung
n $ [mm] \parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel_\infty^p \leq \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p [/mm] $
aufgeschrieben habe. Natürlich ist es genau umgekehrt.
Über die zweite Ungleichung muss ich deshalb jetzt auch nochmal nachdenken.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 03.09.2007 | | Autor: | nick_twisp |
Autsch,
mir ist ein Licht aufgegangen.
Die zweite Ungleichung gilt offensichtlich, da
in [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p [/mm] ja [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p [/mm] als Summand enthalten ist.
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Achso,
ist das dann wie bei Reihen, wo man ja auch [mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] synonym zu [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] setzt?
Dementsprechend wäre [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{p}_{\infty} [/mm] also das "letzte" Element aus der Summe (was aber ja nie erreicht wird, weil es unendlich ist)
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Hallo!
> ist das dann wie bei Reihen, wo man ja auch [mm]s_{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] synonym zu [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm]
> setzt?
Dein "Synonym" stimmt erst mal nicht. Es ist [mm] $s_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} a_k$ [/mm] die n-te Partialsumme und man setzt [mm] $\sum_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] := [mm] \lim_{n \to \infty} s_n$. [/mm] Also wird damit sowohl der Grenzwert der Reihe, falls existent, als auch die Reihe selber bezeichnet.
Die Ungleichung gilt einfach, wie oben erwähnt, einfach aus dem Grund, dass die Maximumsnorm einfach die größte Koordinate auswählt. Auf der anderen Seite stehen einfach die potenzierten Beträge aller (!) Koordinaten, da ist der größte aber auf jeden Fall auch dabei. Also addierst du auf dieser Seite einfach noch ein paar positive Zahlen im Vergleich zur linken Seite hinzu.
Ich hoffe, dass jetzt ein Licht aufgeht 
Gruß!
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Ja, das meinte ich damit.
Aber wenn ich versuche, das zu erklären, geht es meistens in die Hose :D
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