partielle Ableitung + Hesse M. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x,y)= [mm] x^3+y^3+(1-x-y)^3+4xy(1-x-y)
[/mm]
[mm] f_x(x,y)= 3x^2-3(1-x-y)^2-4xy+4y(1-x-y)
[/mm]
f_xx(x,y)= 6-14y
Die Ableitung nach y ist analog. |
Jetzt habe ich schwierigkeiten die Ableitung nach x und y zu bilden für die Hesse-Matrix. Das Ergebnis habe ich für die zweite gemeinsame Ableitung f_xy(x,y) = 10-14x-14y. ( was in der Hesse Matrix eingetragen werden muss, dass steht ja schon hier) bloß die Frage wie komme ich dahin.
Ich habe es zwei mal abgeleitet und habe was völlig anderes raus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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die erste gemeinsame Ableitung ist bei mir:
f_xy(x,y) = [mm] -6x^2-6y^2+8x+8y-12xy-2
[/mm]
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Hallo nochmal,
[red]Edit:
Ich Esel, habe ein [mm] $y^3$ [/mm] eingebaut, wo keines ist ...
> die erste gemeinsame Ableitung ist bei mir:
>
> f_xy(x,y) = [mm]-6x^2-6y^2+8x+8y-12xy-2[/mm]
Immer die Rechnung mit posten, dann kann man auf Fehlersuche gehen.
Es war richtig:
[mm]f_x(x,y)=3x^2-3(1-x-y)^2+4y(1-x-y)-4xy[/mm]
Nun gem. Kettenregel nochmal nach [mm]y[/mm] ableiten:
[mm]f_{xy}(x,y)=-3\cdot{}2(1-x-y)\cdot{}(-1)+4(1-x-y)+4y(-1)-4x=6-6x-6y+4-4x-4y-4y-4x=10-14x-14y[/mm]
Gruß
schachuzipus
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danke nett von dir,
soo dann nocheinmal :) ich habe hier eine Funktion gegeben.
Für die Hesse-Matrix brauche ich ja einmal die zweite Ableitung von x, dann die zweite Ableitung von y. und die gemeinsame zweite Ableitung. Damit die 2x2 Matrix voll wird.
Die Ergebnisse stimmen. Nur wenn ich selber es durchrechne verstehe die zweite gemeinsame Ableitung nicht. f von x und y = 10-14x-14y.
Die Ergebnisse haben wir vom Prof. bekommen, nur ich komme nicht darauf. wenn ich die Ausgangsfunktion zweimal ableite nach x und y, habe ich was völlig anderes stehen, als 10-14x-14y.
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Hallo nochmal,
ich hatte ein Kuddelmuddel auf meinem Schmierzettel und habe an einer Stelle versehentlich ein [mm] $y^3$ [/mm] eingefügt, wo keines war.
Dann habe ich vorschnell editiert und so Chaos verbreitet.
Die richtige Lösung habe ich in der obigen Antwort vorgerechnet:
https://www.vorhilfe.de/read?i=946511
Gruß
schachuzipus
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okay.
f_xy(x,y)= [mm] 3(1-x-y)^2*(-2) [/mm] + [4*(1-x-y)+(4xy*(-2))] =
-6*((1-x-y*1-x-y))+(4-4x-4y-8xy) =
[mm] -6*(1-x-y-x+x^2+xy-y+xy+y^2)+(4-4x-4y-8xy)=
[/mm]
[mm] -6+12x+12y-6x^2-6y^2-12xy-4-4x-4y-8xy= [/mm]
[mm] -10+8x+8y-6x^2-6y^2-20xy
[/mm]
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Hallo nochmal,
> okay.
> f_xy(x,y)= [mm]3(1-x-y)^2*(-2)[/mm] + [4*(1-x-y)![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bis hierhin stimmt's, der Rest ist komisch ...
Da muss doch [mm]-4y-4x[/mm] stehen ...
> +(4xy*(-2))] =
> -6*((1-x-y*1-x-y))+(4-4x-4y-8xy) =
> [mm]-6*(1-x-y-x+x^2+xy-y+xy+y^2)+(4-4x-4y-8xy)=[/mm]
> [mm]-6+12x+12y-6x^2-6y^2-12xy-4-4x-4y-8xy=[/mm]
> [mm]-10+8x+8y-6x^2-6y^2-20xy[/mm]
Gruß
schachuzipus
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$ [mm] f_{xy}(x,y)=-3\cdot{}2(1-x-y)\cdot{}(-1)+4(1-x-y)+4y(-1)-4x=6-6x-6y+4-4x-4y-4y-4x=10-14x-14y [/mm] $
wie kommst du auf die -1 am Anfang? und zweitens
nach der kettenregel erhalte ich doch [mm] -3*2(1-x-y)^2 [/mm] warum steht bei dir kein quadrat mehr?
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Hallo nochmal,
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> [mm]f_{xy}(x,y)=-3\cdot{}2(1-x-y)\cdot{}(-1)+4(1-x-y)+4y(-1)-4x=6-6x-6y+4-4x-4y-4y-4x=10-14x-14y[/mm]
>
> wie kommst du auf die -1 am Anfang?
Innere Ableitung. Leite den Klammerterm nach [mm]y[/mm] ab, das gibt eine [mm]-1[/mm]
> und zweitens
> nach der kettenregel erhalte ich doch [mm]-3*2(1-x-y)^2[/mm] warum
> steht bei dir kein quadrat mehr?
Nein, bei [mm]f_x(x,y)[/mm] steht doch zu Beginn [mm]3x^2-3(1-x-y)^{\red{2}}[/mm]
Das nach y abgeleitet, verschwindet das [mm]3x^2[/mm] und die Klammer wird zu [mm]-3\cdot{}\underbrace{2\cdot{}(1-x-y)^{2-1}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{(-1)}_{\text{innere Ableitung}}[/mm]
Zur äußeren Ableitung: [mm]g(z)=z^n\Rightarrow g'(z)=n\cdot{}z^{n-1}[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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okay dankee hab es endlich verstanden. :)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
