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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - partielle ableitung
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partielle ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Mi 16.07.2014
Autor: knowhow

Aufgabe
Sei [mm] f:\IR^2 \rightarrow \IR^2 [/mm] , (x,y) [mm] \rightarrow \vektor{x^3y+3\\ e^{xy}} [/mm]
gegeben

i) Bestimmen Sie die Funktionalmatrix von f im Pkt. (1,1)
ii) Berechnen Sie die Richtungsableitung im Pkt. (1,1) in Richtung [mm] v=\bruch{1}{\wurzel{5}}(2,1) [/mm]

iii) ist f über [mm] \IR^2 [/mm] diffbar?


hallo,

meine lgs

i) ich habe jeweils die partielle ableitung gebildet:

[mm] f(x,y)=\vektor{x^3y+3\\ e^{xy}} [/mm]

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\vektor{3x^2y\\ ye^{xy}} [/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=\vektor{x^3\\ xe^{xy}} [/mm] erhalte dann folgende funktionalmatrix ( jacobimatrix)

[mm] J_f(x,y)=\pmat{ 3x^2y & x^3 \\ ye^{xy} & xe^{xy} } [/mm]

[mm] J_f(1,1)=\pmat{3 &1\\ e & e} [/mm]

ii)  [mm] J_f(1,1) \cdot [/mm] v = ( [mm] \bruch{7}{\wurzel{5}}, \bruch{3e}{\wurzel{5}}) [/mm]

iii) da [mm] f_1(x,y) [/mm] = x^3y+3 diffbar und [mm] f_2(x,y)= [/mm] e^(xy) diffbar muss f auch diffbar über [mm] \IR^2. [/mm] Ist es richtig? falls ja reicht es aus mit dieser Begründung. wie kann man ansonsten zeigen?


Ich hoffe das meine lösungen stimmen. ich bin für jeden tipp und verbesserungsvorschlag dankbar

gruß knowhow


        
Bezug
partielle ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:12 Mi 16.07.2014
Autor: Reticella

Hallo knowhow,

i) und ii) sehen für mich gut aus.
Zu iii): Da kommt es ein bisschen drauf an, was für Sätze ihr in der Vorlesung hattet. Üblich ist sowas wie: $f$ stetig(!) partiell diffbar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f$ (total) differenzierbar.
Da musst du also ein bisschen mehr als die partielle Differenzierbarkeit zeigen -  das ist hier aber auch kein Problem ;-).

Viele Grüße,
Reticella

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