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| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)*\sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
(i) Berechnen Sie [mm] \partial_1f [/mm] und [mm] \partial_2f [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] .
(ii) Zeigen Sie, dass [mm] \partial_1f [/mm] unstetig an (0, 0) ist.
(iii) Zeigen Sie, dass f di fferenzierbar an (0, 0) ist. |
also fehler sin leider schnell gemacht, aber hier meine ableitung, mit produktregel und 2mal kettenregel
[mm] \partial_1f=2x*\sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})+(x^2+y^2)*-0.5(x^2+y^2)^{-1.5}*2x*\cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})
[/mm]
[mm] \partial_2f [/mm] sieht ja gleich aus, nur x und y vertauschen,
ii) würd ich nur vermuten, sowas wie x=y=1/n [mm] n\to\infty [/mm] ... dann geht x,y gegen null und dann zeigen [mm] \partial_1f(x,y) [/mm] geht nicht gegen 0, aber aber mir sieht es so aus als ob es auch gegen null läuft
iii)hab ich in der vorlesung nicht verstanden, einmal hatten wir eine zerlegungsformel und einmal [mm] g(t)=f(x^{(0)} [/mm] + t * r), wobei r=Richtung ist
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> Es sei f : [mm]\IR^2 \to[/mm] [mm] \IR [/mm] definiert durch
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
> (i) Berechnen Sie [mm]\partial1f[/mm] und [mm]\partial2f[/mm] auf R2.
> (ii) Zeigen Sie, dass [mm]\partial1f[/mm] unstetig an (0, 0) ist.
> (iii) Zeigen Sie, dass f differenzierbar an (0, 0) ist.
Hallo Kinghenni,
bei dieser Aufgabe würde ich unbedingt versuchen,
die Rotationssymmetrie des Graphen zu nutzen.
In Polarkoordinaten lautet die Flächengleichung
$\ z\ [mm] =\begin{cases}\ r^2*sin\left(\bruch{1}{r}\right) & \mbox{ für } r>0\\ \ 0 & \mbox{ für } r=0 \\ \end{cases}$
[/mm]
Man kann nun zunächst diese Funktion einer
Variablen untersuchen. Ihr Graph erzeugt bei
Rotation um die z-Achse den Graph von f.
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:20 So 21.06.2009 | | Autor: | Kinghenni |
hi, danke für deine antwort, gibs aber keinen anderen weg
davon hab ich noch weniger ahnung -.-
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Hallo KingHenni,
> hi, danke für deine antwort, gibs aber keinen anderen weg
> davon hab ich noch weniger ahnung -.-
Nun, schreibe die partiellen Aleitungen so auf,
wie die Funktion definiert ist.
[mm]\partial_{1}f=\left\{\begin{matrix} ... & \operatorname{,falls } \left(x,y\right) \not= \left(0,0\right) \\ ... & \operatorname{, falls }\left(x,y\right)=\left(0,0\right) \end{matrix}[/mm]
Für die Unstetigkeit von [mm]\partial_{1}f[/mm] in [mm]\left(0,0\right)[/mm]
verwende z.B eine Folge für die
[mm]\sin\left(\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\right)=0[/mm]
Gruß
MathePower
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wenn ich doch so eine folge finde zb x=1/n....dann wird das mit sinus null, aber dann is es doch stetig, grad weil ich eine finde, ich muss ja eine finde damit das nicht gegen null läuft
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Hallo KingHenni,
> wenn ich doch so eine folge finde zb x=1/n....dann wird das
> mit sinus null, aber dann is es doch stetig, grad weil ich
> eine finde, ich muss ja eine finde damit das nicht gegen
> null läuft
Genau, und die Folge für die
[mm]\sin\left(\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\right)=0[/mm]
gilt, leistet das.
Poste doch bitte mal die bisherigen Rechenschritte zu dieser Teilaufgabe.
Gruß
MathePower
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also ich probiers mal: es gilt [mm] x_n=y_n=1/n [/mm] (zudem gilt, [mm] \not=(0,0))
[/mm]
$ [mm] \partial_1f=2/n\cdot{}\sin(\bruch{1}{\wurzel{1/2n^2}})+(1/2n^2)\cdot{}-(1/2n^2)^{-1.5}\cdot{}1/n\cdot{}\cos(\bruch{1}{\wurzel{1/2n^2}}) [/mm] $
so weil bei beiden summanden ein 1/n steht, geht für [mm] n\to\infty [/mm] die summe gegen null, aber dann wäre es stetig
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Hallo KingHenni,
> also ich probiers mal: es gilt [mm]x_n=y_n=1/n[/mm] (zudem gilt,
> [mm]\not=(0,0))[/mm]
>
> [mm]\partial_1f=2/n\cdot{}\sin(\bruch{1}{\wurzel{1/2n^2}})+(1/2n^2)\cdot{}-(1/2n^2)^{-1.5}\cdot{}1/n\cdot{}\cos(\bruch{1}{\wurzel{1/2n^2}})[/mm]
>
> so weil bei beiden summanden ein 1/n steht, geht für
> [mm]n\to\infty[/mm] die summe gegen null, aber dann wäre es stetig
Es ist
[mm]\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{\left(\bruch{1}{n}\right)^{2}+\left(\bruch{1}{n}\right)^{2}}}=\bruch{n}{\wurzel{2}}[/mm]
Dann schreibt sich dies so:
[mm]\partial_1f=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})+\bruch{2}{n^{2}}\cdot{}-(1/\bruch{n^{2}}{2})^{-1.5}\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]
[mm]=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})+\bruch{2}{n^{2}}\cdot{}-(\bruch{2}{n^{2}})^{-1.5}\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]
[mm]=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})-(\bruch{2}{n^{2}})^{-0.5}\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]
[mm]=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})-\bruch{n}{\wurzel{2}}\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]
[mm]=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})-\bruch{1}{\wurzel{2}}*\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]
Und davon ist nun der Grenzwert zu bestimmen.
Ich meinte die Folge, für die
[mm]\sin\left(\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\right)=0[/mm]
Da [mm]x_{n}=y_{n}[/mm] gewählt wird ist
[mm]2x_{n}^{2}=\bruch{1}{n^{2}*\pi^{2}}[/mm]
woraus sich die Folge [mm]x_{n}[/mm] ergibt zu:
[mm]x_{n}=\bruch{1}{\wurzel{2}*n*\pi}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Kinghenni |
vielen dank, mathepower
gruß kinghenni
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