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| Aufgabe | Sei [mm] b:V\times V\to\IR [/mm] eine Bilinearform auf einem [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V und [mm] A=(Aij)_{i,j=1...n} :=M_{\mathcal{B}}(b) [/mm] ihre Matrizendarstellung bezüglich einer Basis [mm] \mathcal{B}. [/mm] Zeigen Sie:
b positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] spur(A) > 0 |
Hallo liebe HelferInnen
Irgendwie leuchtet mir das nicht ein, da eine Abbildung b: [mm] x^{T}Ax [/mm] durchaus nur 0 auf den Diagonaleinträgen von A haben kann, und immer noch positiv sein. dies hängt ja dann vorwiegend von x ab... wenn x keine negativen Komponenten hat, muss die Spur ja nicht unbedingt ungleich Null sein.
Kann mir da jemand helfen, den Ansatz zu finden? (dass A ungleich Null sein muss, habe ich schon rausgekriegt, aber das heisst ja nur, dass min. ein [mm] a_{ij} \not=0 [/mm] ... und das kann durchaus ausserhalb der Diagonalen liegen?!?)
Danke jetzt schon für eure Hilfe.
Liebe Grüsse
Cassiopaya
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> Sei [mm]b:V\times V\to\IR[/mm] eine Bilinearform auf einem
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] V und [mm]A=(Aij)_{i,j=1...n} :=M_{\mathcal{B}}(b)[/mm]
> ihre Matrizendarstellung bezüglich einer Basis
> [mm]\mathcal{B}.[/mm] Zeigen Sie:
>
> b positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] spur(A) > 0
> Hallo liebe HelferInnen
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> Irgendwie leuchtet mir das nicht ein, da eine Abbildung b:
> [mm]x^{T}Ax[/mm] durchaus nur 0 auf den Diagonaleinträgen von A
> haben kann, und immer noch positiv sein.
Was meinst Du mit "positiv"? Positiv definit?
Welche Matrix hast Du denn im Auge, die nur Nullen auf der Hauptdiagonalen hat und positiv definit ist?
> dies hängt ja
> dann vorwiegend von x ab... wenn x keine negativen
> Komponenten hat, muss die Spur ja nicht unbedingt ungleich
> Null sein.
Wenn A der darstellende Matrix der positiv definiten Bilinearform b ist,
dann gilt für alle (!) x mit [mm] x\not=0 [/mm] : [mm] x^{t}Ax>0.
[/mm]
>
> Kann mir da jemand helfen, den Ansatz zu finden?
Rechne mal für die Einheitsvektoren [mm] e_i [/mm] aus [mm] e_i^{t}Ae_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hmm...
Wenn positiv definit nicht bedeutet, dass das Resultat schlussendlich positiv ist, dann verstehe ich nicht was positiv definit heisst.
Ich hab versucht mich schlau zu machen, aber finde keine schlaue Erklärung.
heisst das, alle Matrixeinträge müssen positiv sein?
Danke nochmals.
Cassiopaya
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> Hmm...
> Wenn positiv definit nicht bedeutet, dass das Resultat
> schlussendlich positiv ist, dann verstehe ich nicht was
> positiv definit heisst.
Hallo,
psitiv definit heißt das, was ich geschrieben hatte und was auch sonst überall steht:
daß [mm] x^{t}Ax>0 [/mm] bzw. b(x,x)>0 für alle x [mm] \not=0 [/mm] ist.
Ich hatte mich zuvor daran gestoßen, daß Du etwas über eine positive Abbildung b schriebst.
> heisst das, alle Matrixeinträge müssen positiv sein?
Nein.
Es heißt das, was obige Definition sagt.
Gruß v. Angela
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