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Guten morgen zusammen!
ich soll eine Potenzreihenentwicklung von [mm] \bruch{1}{z+2i} [/mm] im entwicklungspunkt 0 durchführen und dabei auf die geometrische reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{n}= \bruch{1}{1-z},|z|<1 [/mm] zur hilfe nehmen!
mein ansatz: die potenzreihe hat auf jeden fall schon mal die form:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}*z^{k} [/mm] und jetzt?Kann ich für [mm] z^{k} \bruch{1}{1-z} [/mm] einsetzen?irgendwie komm ich an der stelle nicht weiter!selbst wenn das gine, wie komme ich dann weiter?
gruß superkermit|
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hey superkermit,
bei so einer aufgabe gehst du immer ähnlich vor und zwar:
bringe den term [mm] \bruch{1}{z+2i} [/mm] in die form des
grenzwertes der geom. reihe, indem du passend ausklammerst, damit du
das 1- unterm bruch bekommst!
nach zwei schritten hast du:
[mm] \bruch{1}{2i}* \bruch{1}{1-(-\bruch{z}{2i})} [/mm]
darauf kannst du die geom. reihe anwenden.
wobei das "argument" in der reihe ja betragsmäßig kleiner 1 sein muss!!!
wie ist der betrag im komplexen definiert? darüber gelangst du zur bedingung für welche z die reihe dann abs. kvgt. ist.
viel erfolg damit.
Xanthippe0815
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danke für die schnelle hilfe Xanthippe0815 !
das heißt mit der potenzreihenentwicklung bin ich jetzt schon fertig und kann [mm] \bruch{1}{2i} \summe_{n=0}^{ \infty}( \bruch{-z}{2i})^{n} [/mm] so stehen lassen?wo hab ich denn hier den entwicklungspunkt benutzt?
und noch ne frage zum konvergenzbereich,hab folgendes gerechnet: stimmt das, denn leider weiß ich nicht so wirklich was ich da jetzt genau berechnen muß
[mm] |\bruch{-z}{2i}|<1=|z|<2i [/mm] => x= +/- [mm] \wurzel{-4-y²}
[/mm]
und was sagt mir das jetzt?
gruß
superkermit
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Schreibe lieber
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left[- \left( - \frac{1}{2i} \right)^{n+1}\right] \cdot z^n$, [/mm]
dann hat es (einsichtiger) die Form [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n$
[/mm]
mit
[mm] $a_n [/mm] = - [mm] \left( - \frac{1}{2i} \right)^{n+1}$
[/mm]
und du siehst vielleicht besser, dass $0$ der Entwicklungspunkt ist.
Genau, die Reihe konvergiert genau für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit
[mm] $\left| -\frac{z}{2i} \right| [/mm] < 1$
Wegen $|2i|=2$ konvergiert die Reihe also genau für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z|<2$, also für alle komplexen Zahlen aus dem Inneren des Kreises um den Nullpunkt mit Radius $2$.
Liebe Grüße
Stefan
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Hi.
Ja, genauso wie Stefan sagt, meinte ich das! Dachte nur, dass ich vielleicht nicht gleich alles "vorsagen" sollte, damit Du den Rest vielleicht auch selbst siehst!
Dann hat es Dir ja geholfen!
Lg
Xanthippe0815
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hallo ihr zwei und vielen dank für die hilfe!
Ich hab dennoch noch eine kleine frage: warum schreibst du
[mm] a_{n}= [/mm] - ( [mm] -\bruch{1}{2i}^{n+1})?
[/mm]
warum nicht ( [mm] \bruch{1}{2i}^{n})?
[/mm]
gruß superkermit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo superkermit!
Stefan hat gar noch etwas anderes geschrieben: [mm]a_{n} \ = \ - \left(-\bruch{1}{2i}\right)^{n+1}[/mm]
Das kann man nicht zu Deinem "Vorschlag" zusammenfassen, da sich hier der Exponent $n+1_$ auch auf das innere Minuszeichen bezieht.
Zudem gibt es kein  Potenzgesetz, welches das Zusammenfassen von unterschiedlichen Basen mit unterschiedlichen Exponenten zulässt.
Gruß
Loddar
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hallo Loddar!
Du hast meine frage missverstanden: ich will die nicht zusammenfassen, sondern hab mich vielmehr gewundert ob das ergebnis: [mm] a_{n}= [/mm] -(- [mm] \bruch{1}{2i})^{n+1} [/mm] richtig ist, weil ich nämlich auf [mm] a_{n}= [/mm] (- [mm] \bruch{1}{2i})^{n}komme!
[/mm]
ich kann in meinen berechnungen keinen fehler finden!was ist also jetzt das richtige ergebnis?
gruß
superkermit
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Das ist wegen [mm](-1)^2 = 1[/mm] tatsächlich dasselbe:
[mm]- (-1)^{n+1} = (-1) \cdot (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^n[/mm]
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