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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Sa 14.06.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Es sei R ein Integritätsring, und seine El. [mm] a_1,...,a_n \in [/mm] R sowie [mm] b_1,..,b_m \in [/mm] R gegeben. Zeige: Ist p [mm] \in [/mm] R ein Primelement mit
p| [mm] \summe_{i+j=k}^{n}a_jb_j, [/mm] für alle k=0,1,...,m+n,
so gilt [mm] p|a_i [/mm] für alle i=1,..,n oder [mm] p|b_j [/mm] für alle j=1,...,m |
hallo,
kann mir jemand einen tipp geben wie an diesen aufgabe herangehen soll. mir fallen solche aufgaben sehr schwer, da ich nie genau weiß wie ich anfangen soll.
das ws in der aufgabenstellung steht ist sogesagt auch die definition für Primelement, denn da heißt es ja auch p heißt prim, falls [mm] p\not=0 [/mm] und p [mm] \not\in R^{\*} [/mm] und p|ab dann folgt p|a oder p|b.
ich bin für jeden tipp dankbar
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> Es sei R ein Integritätsring, und seine El. [mm]a_1,...,a_n \in[/mm]
> R sowie [mm]b_1,..,b_m \in[/mm] R gegeben. Zeige: Ist p [mm]\in[/mm] R ein
> Primelement mit
>
> p| [mm]\summe_{i+j=k}^{n}a_jb_j,[/mm] für alle k=0,1,...,m+n,
>
> so gilt [mm]p|a_i[/mm] für alle i=1,..,n oder [mm]p|b_j[/mm] für alle
> j=1,...,m
> hallo,
>
> kann mir jemand einen tipp geben wie an diesen aufgabe
> herangehen soll.
Hallo,
bevor Du irgendetwas anderes tust, solltest Du mal prüfen, ob Du die Aufgabe richtig wiedergegeben hast.
Stimmt die obere Grenze der Summe?
Und warum steht unten i+j=k, und dann kommt gar kein i vor?
> mir fallen solche aufgaben sehr schwer, da
> ich nie genau weiß wie ich anfangen soll.
Erstmal alle Begriffe klären.
1. Integritätsring
2. Primelement
3. alles, was sonst noch irgendwie unklar ist.
Wenn ich - wie hier - nicht eine Lösung in der Tasche habe, es mir möglicherweise auch mal ein bißchen undurchsichtig vorkommt,
mache ich mir ein etwas konkreteres Beispiel. Etwa so:
sei n=3, m=2.
Dann hab' ich [mm] a_1, a_2, a_3, b_1, b_2.
[/mm]
Wie lautet jetzt die Voraussetzung?
Was müßte ich jetzt zeigen?
Kann ich das zeigen? Ich versuche diesen speziellen Fall zu lösen.
So gehe ich an Aufgaben heran, vielleicht magst Du das hier auch mal versuchen.
>
> das ws in der aufgabenstellung steht ist sogesagt auch die
> definition für Primelement, denn da heißt es ja auch p
> heißt prim, falls [mm]p\not=0[/mm] und p [mm]\not\in R^{\*}[/mm] und p|ab
> dann folgt p|a oder p|b.
Ich weiß nicht, was Du mit "sogesagt" meinst, aber was in der Aufgabe steht, ist nicht die Definition für Primelement.
Die Definition für Primelement hast Du soeben mitgeteilt.
LG Angela
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> ich bin für jeden tipp dankbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Sa 14.06.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke für den hinweis, die obere grenze stimmt natürlich nicht.
ich habe mir jetzt überlegt im Poylnomring zu betrachten. dann erhalte
p | [mm] \summe_{i=0}^{n}a_iX^i \cdot \summe_{j=1}^{m} b_jX^j [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+m} c_kX^k [/mm] mit [mm] c_k=\summe_{r=0}^{k}a_rb_{k-r}. [/mm] Da p prim muss p alle koeffizienten von [mm] a_i [/mm] teilen oder alle koeffizienten von [mm] b_j [/mm] teilen, d.h [mm] a_i [/mm] muss ein viellfaches von p sein oder [mm] b_j [/mm] muss ein vielfaches von p sein.
ich habe auch dein konkrete beipiel betrachtet nämlich
p| [mm] \summe_{i+j=k}^{5}a_ib_j=
[/mm]
[mm] a_0b_0+X(a_0b_1+a_1b_0)+X^2(a_0b_2+a_1b_1+b_0a_2)+...+X^5(a_0b_5+a_1b_4+a_2b_3+a_3b_2+a_4b_1+b_0a_5)
[/mm]
ich würde dann wie oben argumentieren. da wir uns im Integritätsring befinden,heißt es dass alle elemente Nullteilerfrei sind,d.h. falls [mm] a_ib_j=0, [/mm] dann muss [mm] a_i=0 [/mm] oder [mm] b_j=0 [/mm] sein. aber das bring mich auch nicht weiter.
was mich dann wundert ist dass [mm] p|a_i [/mm] nur für i=1,...,n oder [mm] p|b_j [/mm] für j=1,...,m, d.h dann p teilt nicht [mm] a_0b_0, [/mm] oder? oder verstehe ich es komplett falsch.
sorry dass ich mich evtl dumm stelle, aber ich komm einfach nicht weiter.
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> ich habe mir jetzt überlegt im Poylnomring zu betrachten.
Hallo,
wofür machst Du das?
Und welchen Polynomring meinst Du?
p ist ein Polynom? Oder was?
> dann erhalte
>
> p | [mm]\summe_{i=0}^{n}a_iX^i \cdot \summe_{j=1}^{m} b_jX^j[/mm]
Falls p ein Polynom sein soll soll, würde daraus, daß p ein Primelement ist, folgen, daß p entweder das erste oder das zweite Polynom teilt.
>
> ich habe auch dein konkrete beipiel betrachtet nämlich
>
> p| [mm]\summe_{i+j=k}^{5}a_ib_j=[/mm]
>
> [mm]a_0b_0+X(a_0b_1+a_1b_0)+X^2(a_0b_2+a_1b_1+b_0a_2)+...+X^5(a_0b_5+a_1b_4+a_2b_3+a_3b_2+a_4b_1+b_0a_5)[/mm]
Wo kommen die Nullen her? Du schriebst [mm] a_1,...,a_n, b_1,...,b_m?
[/mm]
> p| [mm]\summe_{i+j=k}^{5}a_ib_j=[/mm] für alle k=0,...,n+m.
Das bedeutet:
es gelten gleichzeitig
k=0:
p| [mm] a_0b_0 +a_0b_1+a_0b_2+a_1b_0+a_1b_1+a_1b_2+a_2b_0+a_2b_1+a_2b_2+a_3b_0+a_3b_1+a_3b_2
[/mm]
k=1:
p| [mm] a_0b_1+a_0b_2+a_1b_0+a_1b_1+a_1b_2+a_2b_0+a_2b_1+a_2b_2+a_3b_0+a_3b_1+a_3b_2
[/mm]
k=2:
p| [mm] a_0b_2+a_1b_1+a_1b_2+a_2b_0+a_2b_1+a_2b_2+a_3b_0+a_3b_1+a_3b_2
[/mm]
k=3:
p| [mm] a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2+a_3b_0+a_3b_1+a_3b_2
[/mm]
k=4:
p| [mm] a_2b_2+a_3b_1+a_3b_2
[/mm]
k=5:
p| [mm] a_3b_2.
[/mm]
Hieraus ist zu folgern, daß alle [mm] a_i [/mm] oder alle [mm] b_i [/mm] von p geteilt werden.
> ich würde dann wie oben argumentieren. da wir uns im
> Integritätsring befinden,heißt es dass alle elemente
> Nullteilerfrei sind
Elemente können nicht nullteilerfrei sein.
Ein Ring kann nullteilerfrei sein.
> ,d.h. falls [mm]a_ib_j=0,[/mm] dann muss [mm]a_i=0[/mm]
> oder [mm]b_j=0[/mm] sein.
Ja.
> aber das bring mich auch nicht weiter.
Irgendwo im Verlaufe des Beweises wirst Du es sicher gebrauchen können.
>
> was mich dann wundert ist dass [mm]p|a_i[/mm] nur für i=1,...,n
> oder [mm]p|b_j[/mm] für j=1,...,m, d.h dann p teilt nicht [mm]a_0b_0,[/mm]
> oder? oder verstehe ich es komplett falsch.
Ich glaube ja, daß es Indexwirrwarr gibt.
Gibt es diese [mm] a_0, b_0 [/mm] überhaupt?
Wenn ja, dann soll es bestimmt heißen
[mm]p|a_i[/mm] für [mm] i=\red{0},1,...,n [/mm] oder [mm]p|b_j[/mm] für [mm] j=\red{0},1,...,m
[/mm]
> ,
und wenn es [mm] a_0 [/mm] und [mm] b_0 [/mm] gar nicht gibt, dann haben wir oben weniger Summen mit weniger Summanden.
Auch hier kann man schon etwas lernen: ohne genaues Aufgabenstudium des Aufgabentextes läuft gar nichts.
> sorry dass ich mich evtl dumm stelle, aber ich komm einfach
> nicht weiter.
Wenn Du erstmal die Aufgabenstellung verstanden hast, ist doch schonmal viel gewonnen.
Einen Plan für den allgemeinen Beweis hab' ich auch noch nicht so genau, aber wenn ich die Aufgabe lösen müßte, würd' ich nun mal versuchen, für das Beispiel die Aussage zu zeigen.
LG Angela
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